Задача 53864 8.Методом последовательного...

5f5275418b85ef59a67d4182

05.10.2020 09:19:14

8.Методом последовательного дифференцирования найти первые к членов разложения дифференциального уравнения в степенной ряд.

5f3ea7e3faf909182968ddd9

05.10.2020 11:31:01

★

y(0)=0 ⇒
x=0 y=0
Подставляем в данное уравнение:
y`(0)=2*0+cos 0 ⇒ [red] y`(0)=1
[/red]
x=0; y=0; y`(0)=1

Дифференцируем данное уравнение:

y``=2+(-siny)*y`

y``(0)=2-sin0*1=2⇒[red] y``(0)=2[/red]


Дифференцируем еще раз:

y```=0+(-cosy)*y`-siny*y``

y```(0)=0-cos0*1-sin0*2=-1 ⇒[red] y```(0)=-1[/red]

Дифференцируем еще раз:

y````=siny*y`-cosy*y``-cosy*y``-siny*y```

y````(0)=sin0*1-cos0*2-cos0*2-sin0*(-1)=-4 ⇒[red] y``(0)=-4[/red]


По формуле Тейлора

f(x)=f(0)+f`(0)/1! *(x-0) + f``(0)/2! * (x-0)^2+ f```(0)/3! * (x-0)^2+ ...

y=0+1*(x-0)+(1/2!)*(2)*(x-0)^2+(1/3!)*(-1)*(x-0)^3+(1/4!)*(-4)*(x-0)^4

y=x+x^2-(x^3/6)-(x^4/6)