Задача 53825 ...

5f7769413c2bbb460a93108f

03.10.2020 10:13:33

Тело [blue]T[/blue] есть однородный замкнутый цилиндр с плотностью [blue]δ (x, y, z) =1[/blue], высота которого [blue]h[/blue] и радиус основания [blue]R[/blue]. Расчитай его массу, момент инерции относительно [i]x[/i] (отрезок между центральными точками оснований) и момент инерции относительно диаметра основания. Подумай сначало, как расположить данное тело на координатных осях.

5f3ea7e3faf909182968ddd9

03.10.2020 11:19:27

★

Расположить цилиндр так как на рис.

отрезок оси х - это отрезок ОР ( соединяет центры двух окружностей)

Уравнение цилиндра:

y^2+z^2=R^2

в цилиндрических координатах:

y= r* cos θ ⇒ 0 ≤ r ≤ R; 0 ≤ θ ≤ 2π

z=r* sin θ


0 ≤ x ≤ h

1)
Формула для вычисления массы:( cм приложение

плотность ρ (x;y;z) это в условии Вашей задачи δ (x;y;z)=1)

m = ∫∫∫_(Т )dxdydz= ∫∫_(окр: y^2+z^2=R^2)dydz ∫^(h) dx= ∫∫_(окр)((x)|^(h)-(0) )dydz=h∫∫_(окр)dydz=h*(S_(круга)=π*R^2*h

(геом. смысл двойного интеграла ∫ ∫ _(D)= S_(D))


2)
Формула для вычисления момента инерции относительно x:
J_(x)=∫∫∫_(Т)(y^2+z^2)dxdydz=∫∫_(окр:y^2+z^2=R^2)(y^2+z^2)dydz ∫^(h)_(0) dx=h ∫^(2π )_(0)d θ ∫ ^(R)_(0)r^2*[b]rdr[/b]=

([b]rdr[/b] это якобиан)

[red]=2πR^3*h/3[/red]

момент инерции относительно диаметра основания:

J_(z)= ∫∫∫_(Т)(x^2+y^2)dxdydz= ∫^(h)_(0) (∫∫_(окр:y^2+z^2=R^2)(x^2+y^2)dydz) dx=


=∫^(h)_(0) (∫∫_(окр:y^2+z^2=R^2)(x^2)dydz) dx+∫^(h)_(0) (∫∫_(окр:y^2+z^2=R^2)(y^2)dydz) dx=


=∫^(h)_(0) x^2([red]∫∫_(окр:y^2+z^2=R^2)dydz[/red]) dx+∫^(h)_(0) (∫∫_(окр:y^2+z^2=R^2)(y^2)dydz) dx=

=∫^(h)_(0) x^2[red](πR^2)[/red]dx+∫^(h)_(0)dx∫^(R)_(0)d θ∫^(2π)_(0)(rsin θ ^2)[b]rdr[/b]=

=[red](πR^2)[/red]*(h^3/3)+h*(R^3/3)∫^(2π)_(0)(sin^2 θ )d θ =

=[red](πR^2)[/red]*(h^3/3)+h*(R^3/3)∫^(2π)_(0)(1-cos2θ )/2d θ =

=[red](πR^2)[/red]*(h^3/3)+h*(R^3/3)*((1/2)θ)|^(2π)_(0) -h*(R^3/3)*((1/4)sin2 θ )|^(2π)_(0)=

=[red](πR^2)[/red]*(h^3/3)+h*(R^3/3)*(1/2)((2π)-(0)) -h*(R^3/3)*[green]0[/green]=

=[red](π*R^2)[/red]*(h^3/3)+π*(R^3/3)*h