Задача 53820 Задание на тему "Интегралы в...

5f7769413c2bbb460a93108f

02.10.2020 21:01:50

Задание на тему "Интегралы в цилиндрических координатах" (пространственный, тройной интеграл). Необходимо построить тело, ограниченное конусом z=sqrt(3)*sqrt(x^2+y^2), цилиндром x^2+y^2=(1/2)^2, а также плоскостью xy. Нужно найти границы интегрирования (в цилиндрических координатах).

5f3ea7e3faf909182968ddd9

02.10.2020 22:00:37

★

тело, ограниченное конусом z=√3·√x2+y2,
цилиндром x^2+y^2=(1/2)^2,
а также плоскостью xOy.

Это часть цилиндра высотой [m]\sqrt{3}\cdot\sqrt{(\frac{1}{2})^2}[/m]
( на рис. синего цвета)
снизу круг [m] x^2+y^2=(\frac{1}{2})^2[/m]
по бокам цилиндрическая поверхность, сверху "воронка" от конуса.

Решаем систему:
[m]\left\{\begin{matrix}z=\sqrt{3}\sqrt{x^2+y^2}\\x^2+y^2=(\frac{1}{2})^2\end{matrix}\right.[/m]

Подставляем[m](\frac{1}{2})^2[/m] в первое уравнение вместо [m] x^2+y^2[/m]

[m]z=\sqrt{3}\cdot\sqrt{(\frac{1}{2})^2}[/m]

[m]z=\frac{\sqrt{3}}{2}[/m]

Область D на плоскости хОу
окружность: [m]x^2+y^2=(\frac{1}{2})^2[/m] ⇒ вводим полярные координаты 0 ≤ θ ≤ 2π; 0 ≤ ρ ≤ [m]\frac{1}{2}[/m]
[m] 0 ≤ z ≤ \frac{\sqrt{3}}{2}[/m]