Задача 53771 каноническое уравнение гиперболы...
Условие
Решение
с=10
y= ± (4/3)x ⇒ b/a=4/3
b^2=c^2-a^2
Каноническое уравнение гиперболы
[m]\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1[/m]
[b]b^2=c^2-a^2[/b]
b/a=4/3 ⇒ b=4k; a=3k
[b]10^2=(4k)^2+(3k)^2[/b]
100=25k^2
k^2=4
k= 2 ⇒
a=4*2=8
b=3*2=6
О т в е т. [m]\frac{x^2}{8^2}-\frac{y^2}{6^2}=1[/m]
2)
Каноническое уравнение гиперболы
[m]\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1[/m]
ε =c/a - эксцентриситет гиперболы
Уравнения директрис гиперболы:
d= ± a/ ε
Расстояние между директрисами 2a/ ε
По условию 2a/ ε =8/3 ⇒ 6a=8 ε
[b]3a=4 ε [/b]
[b]ε =3/2[/b]
Значит
[m]a=2[/m]
c= ε *a=(8/3)*2=16/3
[b]b^2[/b]=c^2-a^2=(16/3)^2-2^2=[b]220/9[/b]
[m]\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{\frac{220}{9}}=1[/m]
3)
ε =sqrt(2)
Каноническое уравнение гиперболы
[m]\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1[/m]
M(sqrt(3);sqrt(2)) лежит на гиперболе, значит ее координаты удовлетворяют уравнению:
[m]\frac{(\sqrt{3})^2}{a^2}-\frac{(\sqrt{2})^2}{b^2}=1[/m]
[m]\frac{3}{a^2}-\frac{2}{b^2}=1[/m]
и
с/a=sqrt(2)
b^2=c^2-a^2