Задача 53765 2) срочно!...
Условие
Решение
a)
[m] y`=(sinx)`\cdot cosx+sinx\cdot (cosx)`=cosx\cdot cosx+sinx\cdot (-sinx)=cos^2x-sin^2x=cos2x[/m]
или
[m]sinx\cdot cosx=sin2x[/m]
[m]y`=(sin2x)`=(cos2x)\cdot (2x)`=(cos2x)\cdot 2=2cos2x[/m]
б)
[m] y`=\frac{(e^{x}+1)`\cdot (e^{x}-1)-(e^{x}+1)\cdot (e^{x}-1)`}{(e^{x}-1)^2}=\frac{(e^{x})\cdot (e^{x}-1)-(e^{x}+1)\cdot (e^{x})}{(e^{x}-1)^2}=\frac{(e^{x})\cdot (e^{x}-1-e^{x}-1)}{(e^{x}-1)^2}=\frac{-2e^{x}}{(e^{x}-1)^2}[/m]
в)
[m]y`=\frac{1}{2\sqrt{12-2x-x^2}}\cdot (12-2x-x^2)`=\frac{1}{2\sqrt{12-2x-x^2}}\cdot (-2-2x)=\frac{-x-1}{\sqrt{12-2x-x^2}}[/m]
2.
a)
[m]y`=(\frac{1}{3}x^3-x^2-3x+\frac{1}{3})`=x^2-2x-3[/m]
[m]y`=0[/m]
[m]x^2-2x-3=0[/m]
[m]D=4+12=16[/m]
[m]x_{1}=\frac{2-4}{2}=-1[/m]; [m]x_{2}=\frac{2+4}{2}=3[/m]
__+__ (-1) __-___ (3) __+__
y`>0 на (- ∞ ;-1) и на (3;+ ∞ ), значит функция возрастает
y`< 0 на (-1 ;3), значит функция убывает
х=-1 - точка максимума, производная меняет знак с + на -
у(-1)=(1/3)*(-1)^3-(-1)^2-3*(-1)+(1/3)=(-1/3)+4=2
х=3 - точка минимума, производная меняет знак с - на +
y(3)=(1/3)*3^3-3^2-3*3+(1/3)=9-9-9+(1/3)= -26/3
y``=2x-2
y``=0
2x-2=0
x=1- точка перегиба, вторая производная меняет знак с - на +
Функция выпукла вверх на ( (- ∞ ;1) и выпукла вниз на (1;+ ∞ )
См. график рис. 1
3.
v(t)=s`(t)=-t^2+6t
v`(t)=-2t+6
v`(t)=0
t=3 - точка максимума, так как производная меняет знак с + на -
v(6) =-(3^2)+6*3=9
О т в е т. 9
