Задача 53764 уравнение касательной к эллипсу...
Условие
Решение
Параллельные прямые имеют одинаковые угловые коэффициенты ⇒
[m]y=\frac{1}{2}x+b[/m] - уравнение касательной.
Касательная и эллипс имеют одну общую точку, значит система уравнений
[m]\left\{\begin{matrix}x^2+2y^2=3\\ y=\frac{1}{2}x+b\end{matrix}\right.[/m]
имеет единственное решение
[m]\left\{\begin{matrix}x^2+2\cdot (\frac{1}{2}x+b)^2=3\\ y=\frac{1}{2}x+b\end{matrix}\right.[/m]
[m]\left\{\begin{matrix}5x^2+4bx+4b^2-12=0\\ y=\frac{1}{2}x+b\end{matrix}\right.[/m]
Система имеет единственное, если первое уравнение системы имеет единственное решение.
Квадратное уравнение имеет одно решение, если [m] D=0[/m]
[m]D=(4b)^2-4*5*(4b^2-12)=16b^2-80b^2+240=16*(15-4b^2)[/m]
[m]15-4b^2=0[/m]
[m]b^2=\frac{15}{4}[/m]
[m]b= ± \frac{\sqrt{15}}{2}[/m]
О т в е т. [m]y=\frac{1}{2}x-\frac{\sqrt{15}}{2}[/m]; [m]y=\frac{1}{2}x+\frac{\sqrt{15}}{2}[/m];