Задача 53739 Помогите, нужно продолжить дальше по...
Условие
Решение
y`= ((x^3)`*(1-x^2)-x^3*(1-x^2)`)/(1-x^2)^2
y`=((3x^2*(1-x^2)-x^3*(-2x))/(1-x^2)^2
y`=(3x^2-x^4 )/(1-x^2)^2
y`=0
3x^2-x^4=0
x^2*(3-x^2)=0 ⇒
x^2 = 0 или x^2=3
x=0 или х = ± sqrt(3)
Знак производной:
__-___ (-sqrt(3)) _+_ (-1) __+__ (0) _+__ (1) __+__ (sqrt(3)) __-__
Функция монотонно убывает на (- ∞ ;-sqrt(3)) и на (sqrt(3);+ ∞ )
Функция монотонно возрастает на (-sqrt(3); - 1) и на (-1; 1 ) и на (1; sqrt(3))
x=-sqrt(3) -точка минимума
f(-sqrt(3))=(-sqrt(3))^3/(1-(-sqrt(3))^2)^2= 3sqrt(3)/4
х=sqrt(3) - точка максимума
f(sqrt(3))=(sqrt(3))^2/(1-(sqrt(3))^2)^2=3sqrt(3)/4
6,
[m]y``=\frac{(3x^2-x^4)`\cdot (1-x^2)^2-(3x^2-x^4)\cdot ((1-x^2)^2)`}{((1-x^2)^2)^2}[/m]
[m]y``=\frac{(6x-4x^3)\cdot (1-x^2)^2-(3x^2-x^4)\cdot 2(1-x^2)\cdot (1-x^2)`}{((1-x^2)^2)^2}[/m]
[m]y``=\frac{(6x-4x^3)\cdot (1-x^2)^2-(3x^2-x^4)\cdot 2(1-x^2)\cdot (1-x^2)`}{(1-x^2)^4}[/m]
[m]y``=\frac{(6x-4x^3)\cdot (1-x^2)-(3x^2-x^4)\cdot 2\cdot (1-x^2)`}{(1-x^2)^3}[/m]
[m]y``=\frac{(6x-4x^3-6x^3+4x^5+12x^3-4x^5}{(1-x^2)^3}[/m]
[m]y``=\frac{(6x+2x^3}{(1-x^2)^3}[/m]
[m]y``=0[/m] ⇒ [m]6x+2x^3=0[/m]
x=0 - точка перегиба, так как при переходе через эту точку вторая производная меняет знак
Знак второй производной на области определения:
__+____ (-1) __-__ (0) _+__ (1) ___-__
y`` > 0 на (- ∞ ;-1) и на (0;1) ⇒ Функция выпукла вниз на (- ∞ ;-1) и на (0;1)
( запомнить y=x^2; y`` =2 >0 выпукла вниз; y=-x^2; y``=-2 < 0 выпукла вверх)
y`` < 0 на (-1; 0) и на (1;+ ∞ ) ⇒ Функция выпукла вверх на (-1; 0) и на (1;+ ∞ )
7.
x=-1; x=1 - вертикальные асимптоты, т.к
lim_(x → -1-0)(x^3)/(1-x^2)=+ ∞
lim_(x → -1+0)(x^3)/(1-x^2)=- ∞
lim_(x → 1-0)(x^3)/(1-x^2)=- ∞
lim_(x → 1+0)(x^3)/(1-x^2)=+∞
k=lim_(x → ∞ ) f(x)/x=lim_(x → ∞ )x^3/(x-x^3)=-1
b=lim_(x → ∞ )(f(x)-kx)=lim_(x → ∞ )((x^3)/(1-x^2))+x)=lim_(x → ∞ )(x)/(1-x^2)=0
y=-x - наклонная асимптота.
