Задача 53730 ...
Условие
Решение
[m]cos(\frac{3\pi}{2}-x)=-sinx[/m], потому что
[m](\frac{3\pi}{2}-x)[/m]- это третья четверть, косинус в третьей четверти имеет знак минус
[m]\frac{3\pi}{2}= 3\cdot\frac{\pi}{2}[/m] - нечетное количество[m]\frac{\pi}{2}[/m]
значит по правилу название косинус меняем на sinx
и получаем
[m]cos(\frac{3\pi}{2}-x)=-sinx[/m]
[m]cos(\pi+4x)=-cos4x[/m]
[m](\pi+4x)[/m]- это третья четверть, косинус в третьей четверти имеет знак минус
[m]\pi =2\cdot\frac{\pi}{2}[/m] - четное количество [m]\frac{\pi}{2}[/m] ⇒ название НЕ меняем, получаем: - cos4x
Уравнение
[m] sin7x-sinx=-cos4x[/m]
По формуле:
[m]sin \alpha -sin \beta =2 sin\frac{\alpha - \beta}{2} \cdot cos\frac{\alpha+ \beta}{2}[/m]
[m]2sin\frac{7x-x}{2}\cdot cos\frac{7x+x}{2}=-cos4x[/m]
[m]2sin3x\cdot cos4x+cos4x=0[/m]
[m]cos4x\cdot (2sinx3x+1)=0[/m]
[m]ccos4x=0[/m] или [m]2sinx3x+1=0[/m]
[m]ccos4x=0[/m] ⇒ [m] 4x=\frac{\pi}{2}+\pi n, n \in Z [/m] ⇒ [m]x=\frac{\pi}{8} +\frac{\pi}{4} n, n \in Z[/m]
[m]2sinx3x+1=0 [/m] ⇒[m] sinx3x = -\frac{1}{2}[/m] ⇒ [m] 3x=(-1)^{m+1}\frac{\pi}{8}+\pi m, m \in Z[/m],
это решение для отбора корней удобнее записать в виде серии двух ответов:
для четных m=2k
[m]3x=-\frac{\pi}{6}+2 \pi k , k \in Z [/m] или [m]3x=-\frac{5\pi}{6}+2 \pi k, k \in Z[/m] для нечетных k =2m+1
[m]x=-\frac{\pi}{18}+\frac{2\pi}{3} k, k \in Z [/m] или [m]x=-\frac{5\pi}{18}+\frac{2\pi}{3}k, k \in Z[/m]
[m]x=\frac{\pi}{8} +\frac{\pi}{4} n, n \in Z[/m] ⇒ [m]x=\frac{\pi}{8} +\frac{\pi}{4}\cdot 0=\frac{\pi}{8} [/m] - наименьший положительный корень уравнения в этой серии
[m]x=-\frac{\pi}{18}+\frac{2\pi}{3} k, k \in Z [/m] ⇒ [m]x=-\frac{\pi}{18}+\frac{2\pi}{3}\cdot 1=-\frac{\pi}{18}+\frac{12\pi}{18}=\frac{11\pi}{18} [/m] - наименьший положительный корень уравнения в этой серии
[m]x=-\frac{5\pi}{18}+\frac{2\pi}{3}k, k \in Z[/m] ⇒ [m]x=-\frac{5\pi}{18}+\frac{2\pi}{3}\cdot 1=-\frac{5\pi}{18}+\frac{12\pi}{18}=-\frac{7\pi}{18} [/m] - наименьший положительный корень уравнения в этой серии
[m]\frac{\pi}{8}<\frac{7\pi}{18} < \frac{11\pi}{18} [/m]
О т в е т. [m]\frac{\pi}{8} [/m]наименьший положительный корень уравнения