Задача 53725 7.10. Закон распределения непрерывной...
Условие
Требуется выполнить следующее:
1. Найти функцию плотности распределения данной случайной величины f(x).
2. Построить графики функций F(x) и f(x).
3. Вычислить математическое ожидание, дисперсию и среднее кадратическое отклонение случайной величины.
4. Найти вероятность того, что данная случайная величина примет значение, принадлежащее отрезку [a; b].
Решение
[m]f(x)=F`(x)=\left\{\begin{matrix}0, x \leq0
\\ 6x+2 , 0 < x \leq \frac{1}{3}\\ 0, x > \frac{1}{3}\end{matrix}\right.[/m]
2.
cм. рис.
3.
[m] M ( X)= \int ^{+\infty}_{\infty} xf(x)dx=\int ^
{0}_{-\infty}x\cdot 0 dx+ \int ^{\frac{1}{3}}_{0} x\cdot (6x+2)dx+\int ^{+\infty}_{\frac{1}{3}} x\cdot 0 dx=[/m]
[m]= 0+\int ^{\frac{1}{3}}_{0} (6x^2+2x)dx+0=(6\frac{x^3}{3}+2\frac{x^2}{2})| ^{\frac{1}{3}}_{0}=2\cdot (\frac{1}{3})^3+(\frac{1}{3})^2=\frac{5}{27}[/m]
[m] M ( X^2)= \int ^{+\infty}_{\infty} x^2f(x)dx=\int ^{0}_{-\infty}x^2\cdot 0 dx+ \int ^{\frac{1}{3}}_{0} x^2\cdot (6x+2)dx+\int ^{+\infty}_{\frac{1}{3}} x^2\cdot 0 dx=[/m]
[m]= 0+\int ^{\frac{1}{3}}_{0} (6x^3+2x^2)dx+0=(6\frac{x^4}{4}+2\frac{x^3}{3})| ^{\frac{1}{3}}_{0}=\frac{3}{2}\cdot (\frac{1}{3})^4+\frac{2}{3}\cdot (\frac{1}{3})^3=\frac{7}{162}[/m]
[m] D(X)=M(X^2)-(M(X))^2=\frac{7}{162}-(\frac{5}{27})^2= [/m] - считайте
4.
[m]P(a \leq X \leq b)= F (b)-F(a)[/m]
[m]P(\frac{1}{8} \leq X \leq \frac{2}{7})= F (\frac{2}{7})-F(\frac{1}{8})=3\cdot (\frac{2}{7})^2+2\cdot (\frac{2}{7}) -3\cdot (\frac{1}{8})^2+2\cdot (\frac{1}{8})= [/m]считайте
