Задача 53713 xy'-4y=xsqrt(y)...
Условие
математика ВУЗ
283
Решение
★
y`-(4/x)y=sqrt(y)
Решение находим в виде произведения двух функций
y=u*v
y`=u`*v+u*v`
u`*v+u*v`-(4/x)u*v=sqrt(u*v)
Группируем:
u`*v+(u*v`-(4/x)u*v)=sqrt(u*v)
u`*v+u*(v`-(4/x)*v)=sqrt(u*v)
1) Пусть
v`-(4/x)*v=0 ⇒ dv/v=4dx/x ⇒ ∫ dv/v= ∫ 4dx/x
ln|v|=4ln|x|
ln|v|=ln|x^4|
[b]v=x^4[/b]
Тогда
2)
u`*v+u*0=sqrt(u*v)
u`*x^4=sqrt(u*x^4)
du/sqrt(u)=dx/x^2⇒ ∫ du/sqrt(u)= ∫ dx/x^2
-2sqrt(u)=(-1/x)-C
2sqrt(u)=(1/x)+C
y=u*v=(((1/2)*(1/x))^2+C)*x^4
y=(x^2/4)+Сx^4 - общее решение