Задача 53703 Точка Е - середина ребра ВВ1 куба...

5f6852d13934fb23001a34cf

28.09.2020 13:55:26

Точка Е - середина ребра ВВ1 куба ABCDA1B1C1D1. Точка F лежит на продолжении ребра ВВ1 за точку В1, причем 2B1F=BB1.
а) Докажите, что угол между прямыми АЕ и СА1 равен углу между прямыми СА1 и А1F.
б) Найдите угол между прямыми АЕ и СА1.

5f3ea7e3faf909182968ddd9

28.09.2020 14:36:54

★

1)
2B_(1)F=BB_(1) ⇒ B_(1)F=(1/2)BB_(1)
BE=(1/2)BB_(1)
B_(1)F=BE ⇒ EF=BB_(1)

BB_(1)=AA_(1) ⇒

AA_(1)=EF
AA_(1) || EF
A_(1)FEA -параллелограмм ⇒ A_(1)F=AE и A_(1)F || AE


2) Угол найдем по теореме косинусов из Δ А_(1)FС

Сначала найдем его стороны:

A_(1)F=sqrt(1+(1/2)^2)=sqrt(5)/2
A_(1)C=sqrt(3) - диагональ куба.
FC^2=BF^2+BC^2=(3/2)^2+1=(9/4)=1=13/4
FC=sqrt(13)/2

По теореме косинусов из Δ А_(1)FС:

FC^2=A_(1)F^2+A_(1)C^2-2A_(1)F*A_(1)C*cos ∠ FA_(1)C

13/4=(5/4)+3-2*(sqrt(5)/2)*sqrt(3) *cos ∠ FA_(1)C ⇒

cos ∠ FA_(1)C=1/sqrt(15)