Задача 53700 Точка Е - середина ребра СС1 куба...

5f6852d13934fb23001a34cf

28.09.2020 11:31:37

Точка Е - середина ребра СС1 куба ABCDA1B1C1D1 со стороной равной 1. а) Докажите, что B1D перпендикулярно АС.
2) Найдите угол между прямыми ВЕ и В1D.

5f3ea7e3faf909182968ddd9

28.09.2020 11:48:50

★

1) BD ⊥ AC ( диагонали квадрата взаимно перпендикулярны)
BD- проекция B_(1)D

По теореме о трех перпендикулярах:
B_(1)D ⊥ AC

2)
Можно перенести B_(1)D в точку С_(1)
Получить еще один куб D_(1)CKMD_(1)C_(1)M_(1)K_(1)

а BE перенести так, чтобы E совпала с С_(1)
В перенести в точку F, F- середина BB_(1)

Получили треугольник FC_(1)M

∠ FC_(1)M - угол между FC_(1) || BE и C_(1)M || B_(1)D

BM^2=AB^2+AM^2=1+2^2=5
FM^2=FB^2+BM^2=(1/2)^2+5=21/4

FM=sqrt(21)/2

C_(1)M=sqrt(3)

FC^2_(1)=FB^2_(1)+B_(1)C^2_(1)=(1/2)^2+1^2=5/4

FC=sqrt(5)/2

Из треугольника FC_(1)M

по теореме косинусов

FM^2=FC^2_(1)+C_(1)M^2-2*FC_(1)*C_(1)M*cos ∠ FC_(1)M

[b]cos ∠ FC_(1)M=-1/sqrt(15)[/b] ⇒

угол ∠ FC_(1)M - тупой, значит смежный угол острый и его косинус равен 1/sqrt(15)


О т в е т[b]arccos (1/sqrt(15))[/b]


[red]2 способ[/red]

[b]Координатно- векторный [/b]

Введем систему координат как на рис. 2

[m]\vec{BE}=(0;1;\frac{1}{2})[/m]
[m]\vec{B_{1}D}=(1;1;-1)[/m]



Скалярное произведение:
[m]\vec{BE}\cdot \vec{B_{1}D}[/m]=|[m]\vec{BE}[/m]| [m]\cdot[/m] |[m]\vec{B_{1}D}[/m]|[m]\cdot cos \angle (\vec{BE}, \vec{B_{1}D})[/m]

[m]\vec{BE}\cdot \vec{B_{1}D}=0\cdot 1+1\cdot 1+\frac{1}{2}\cdot (-1)=\frac{1}{2}[/m]

|[m]\vec{BE}[/m]|=[m]\sqrt{0^2+1^2+(\frac{1}{2})^2}=\frac{\sqrt{5}}{2}[/m]
|[m]\vec{B_{1}D}[/m]|=[m]\sqrt{1^2+1^2+(-1)^2}=\sqrt{3}[/m]

[m]cos \angle (\vec{BE}, \vec{B_{1}D})=\frac{\frac{1}{2}}{\sqrt{3}\cdot \frac{\sqrt{5}}{2}}=\frac{1}{\sqrt{15}}[/m]

[b]arccos (1/sqrt(15))[/b]