Задача 53688 помогите пожалуйста...
Условие
Решение
a)
z=x+iy
f(z)=3(x+iy)^2+2(x+iy)+1=3(x^2+i*2xy+i^2y^2)+2(x+iy)+1=(3x^2-3y^2+2x+1)+i*(6xy+2y)
u(x;y)=3x^2-3y^2+2x+1
v(x;y)=6xy+2y
L- отрезок прямой: x=1; y от 0 до -1
∫ ^(1-i)_(1)(3z^2+2z+1)dz=∫_(L) (3x^2-3y^2+2x+1)dx -(6xy+2y)dy+i*( ∫ (3x^2-3y^2+2x+1)dx+(6xy+2y)dy)=
L- отрезок прямой: x=1; y от 0 до -1
dx=0
=∫^(-1)_(0)-(6y+2y)dy+i*( ∫(6y+2y)dy)=(-8y^2/2)|^(-1)_(0) + i*(8y^2/2)|^(-1)_(0)=[b]-4+4i[/b]
б)
z=x+iy
f(z)=(x+iy)+(x+iy)^2=x+iy+x^2+i*2xy-y^2=(x^2-y^2+x)+i*(y+2xy)
u(x;y)=x^2-y^2+x
v(x;y)=y+2xy
∫ ^(5-i)_(2)(z+z^2)dz=∫_(L)(x^2-y^2+x)dx-(y+2xy)dy+i*(∫_(L)(x^2-y^2+x)dx+(y+2xy)dy)=
L- соединяет точки (5-i) с точкой 2
Соединяем точки прямой. Составляем уравнение этой прямой:
y=(-1/3)x+(2/3)
dy=(-1/3)dx
∫ ^(5-i)_(2)(z+z^2)dz=∫^(5)_(2)(x^2-((-1/3)x+(2/3))^2+x)dx-((-1/3)x+(2/3)+2x*((-1/3)x+(2/3))(-1/3)dx+
+i*∫^(5)_(2)((x^2-((-1/3)x+(2/3))^2+x)dx+((-1/3)x+(2/3)+2x*((-1/3)x+(2/3))(-1/3)dx=
=∫^(5)_(2)((14/9)x^2+(4/9)x-(10/9))dx + i * ∫^(5)_(2)((8/9)x^2+(22/9)x+(2/9))dx=это определенные интегралы. Считайте...
4)
a)
3z^2+15=0
z^2=-5
z=sqrt(-5)=sqrt(5)*sqrt(-1)
Задача представить число (-1) в тригонометрической форме и применить формулу Муавра.
-1=cosπ+isinπ
Применяем формулу Муавра.
[m]\sqrt{-5}=\sqrt{5}(cos\frac{\pi+2 \pi k}{2}+isin\frac{\pi+2\pi k}{2})[/m], k ∈ Z
при k=0
первый корень
z_(o)=sqrt(5)*[m](cos\frac{\pi}{2}+isin\frac{\pi}{2})=i\sqrt{5}[/m]
при k=1
второй корень
z_(1)=sqrt(5)*[m](cos\frac{3\pi}{2}+isin\frac{3\pi}{2})=-i\sqrt{5}[/m]
б)
x^2-4x+8=0
D=16-4*8=-16
sqrt(D)=sqrt(-16)=sqrt(16)*sqrt(-1)=4i
x_(1)=(4-4i)/2=2-2i; x_(2)=(4+4i)/2=2+2i
5)
[m]z_{1}\cdot z_{2}=(3-4i)\cdot(2+5i)=6-8i+15i-20i^2=6-8i+15i+20=26+7i[/m]
[m]\frac{z_{1}}{ z_{2}}=\frac{3-4i}{2+5i}=\frac{(3-4i)\cdot (2-5i)}{(2+5i)\cdot (2-5i)}=\frac{6-8i-15i+20i^2}{2^2-(5i)^2}=[/m]
[m]=\frac{-14-23i}{29}=-\frac{14}{29}-i\frac{23}{29}[/m]