Задача 53685 Задание #17...
Условие
Решение
Возводим обе части в квадрат:
3x^2-5x-12=100
3x^2-5x-112=0
D=25-4*3*(-112)=1369=37^2
x_(1)=-16/3; x_(2)=7
О т в е т. [b]-16/3;7.[/b]
2)Возводим обе части в квадрат:
x^2-5=x+1
x^2-x-6=0
D=1-4*(-6)=25
x_(1)=-2; x_(2)=3
[i]Проверка[/i]:
При x=-2 sqrt(x^2-5) не существует
При х=3
sqrt(3^2-5)=sqrt(3+1)
2=2 - верно
О т в е т. [b]3[/b]
3)
Возводим обе части в квадрат:
x+1=x^2-2x+1
x^2-3x=0
x(x-3)=0
x_(1)=0; x_(2)=3
[i]Проверка[/i]:
При x=0
sqrt(0+1)=0-1 -неверно, т.к sqrt(1)=1
При х=3
sqrt(3+1)=3-1
2=2 - верно
О т в е т. [b]3[/b]
4)
Возводим обе части в квадрат:
6-x-x^2=x^2+2x+1
2x^2+3x-5=0
D=9+40=49
x_(1)=-2,5; x_(2)=1
[i]Проверка[/i]:
При х=-2,5
sqrt(6-(-2,5)-(-2,5)^2)=-2,5+1 - неверно
[i]арифметический квадратный корень[/i] принимает неотрицательные значения
При х=1
sqrt(6-1-1^2)=1+1 - верно, так как 2=2
О т в е т. [b]1[/b]
5)
sqrt(x+2)=1+sqrt(2x-3).
Возводим обе части в квадрат:
x+2=1+2sqrt(2x-3)+2x-3;
2sqrt(2x-3)=4-x
Возводим обе части в квадрат:
4*(2x-3)=16-8x+x^2
8x-12=16-8x+x^2
x^2-16x+28=0
D=256-4*28=144=12^2
x_(1)=2; x_(2)=14
[i]Проверка[/i]:
при x=2
sqrt(2+2)=1+sqrt(2*2-3)- верно, так как 2=2
при x=14
sqrt(14+2)=1+sqrt(2*14-3)- неверно, так как 4 ≠ 1+5
О т в е т. 2
6) Замена переменной:
[m]\sqrt{\frac{x}{x-2}}=t[/m], тогда [m]\sqrt{\frac{x}{x-2}}=\frac{1}{t}[/m].
Уравнение
[m] t +\frac{1}{t}=\frac{5}{2}[/m]
[m] \frac{2t^2-5t+2}{2t}=0[/m]
[m]t\neq0[/m]
[m]2t^2-5t+2=0[/m]
[m]D=25-4\cdot2\cdot 2=9[/m]
[m] t_{1}=\frac{1}{2}[/m] или[m]t_{2}=2[/m]
Обратный переход от переменной t к переменной х:
[m]\sqrt{\frac{x}{x-2}}=\frac{1}{2}[/m] ⇒ [m]\frac{x}{x-2}=\frac{1}{4}[/m] ⇒ [m]4x=x-2[/m] ⇒ [m]3x=-2[/m]
[m]x=-\frac{2}{3}[/m]
[m]\sqrt{\frac{x}{x-2}}=2[/m] ⇒ [m]\frac{x}{x-2}=4[/m] ⇒ [m]x=4\cdot (x-2)[/m] ⇒ [m]3x=8[/m]
[m]x=\frac{8}{3}[/m]
Проверка:
при [m]x=-\frac{2}{3}[/m]
[m]\sqrt{\frac{-\frac{2}{3}}{-\frac{2}{3}-2}}+\sqrt{\frac{-\frac{2}{3}-2}{-\frac{2}{3}}}=\frac{5}{2}[/m]- верно, так как
[m] \sqrt{\frac{1}{4}}+\sqrt{4}=\frac{5}{2}[/m]
при [m]x=\frac{8}{3}[/m]
[m]\sqrt{\frac{\frac{8}{3}}{\frac{8}{3}-2}}+\sqrt{\frac{\frac{8}{3}-2}{\frac{8}{3}}}=\frac{5}{2}[/m]- верно, так как
[m]\sqrt{4}+ \sqrt{\frac{1}{4}}=\frac{5}{2}[/m]
О т в е т. [m]-\frac{2}{3}[/m] ; [m]\frac{8}{3}[/m]