Задача 53659 ...

5f54df62356816184059ff63

26.09.2020 10:30:21

Найти наименьший положительный корень уравнения sin7x+cos(3π/2—x)=cos(π+4x). (Если можно, с пояснением)

5f3ea7e3faf909182968ddd9

26.09.2020 10:40:08

★

По формулам приведения:

cos((3π/2)—x)=-sinx

((3π/2)—x)- третья четверть, косинус имеет знак минус
(3π/2)= 3*(π/2) - нечетное количество (π/2) ⇒ название меняем, получаем: - sinx

cos(π+4x)=-cos4x

(π+4x)- третья четверть, косинус имеет знак минус
π=2*(π/2) - четное количество (π/2) ⇒ название НЕ меняем, получаем: - cos4x

Уравнение
sin7x-sinx=-cos4x

По формуле:

sin α -sin β


2sin((7x-x)/2)*cos((7x+x)/2)=-cos4x

2sin3x*cos4x+cos4x=0

cos4x*(2sinx3x+1)=0

cos4x=0 или 2sinx3x+1=0


cos4x=0 ⇒ 4x=(π/2)+πn, n ∈ Z ⇒ [b]x=(π/8) + (π/4)n, n ∈ Z[/b]
2sinx3x+1=0 ⇒ sinx3x = -1/2 ⇒ 3x=(-1)^(k+1)(π/6)+πk, k ∈ Z, удобнее записать в виде серии двух ответов:

3x=-(π/6)+2πk, k ∈ Z или 3x=-(5π/6)+2πk, k ∈ Z

[blue]x=-(π/18)+(2π/3)k, k ∈ Z [/blue] или [blue]x=-(5π/18)+(2π/3)k, k ∈ Z[/blue]

[b]x=(π/8) + (π/4)n, n ∈ Z[/b] ⇒ [b]x=(π/8) + (π/4)*0=(π/8)[/b] - наименьший положительный в этой серии

[blue]x=-(π/18)+(2π/3)k, k ∈ Z [/blue] ⇒ [blue]x=-(π/18)+(2π/3)*1=-(π/18)+(12π/18)=(11π/18) [/blue] - наименьший положительный в этой серии

[blue]x=-(5π/18)+(2π/3)k, k ∈ Z[/blue] ⇒ [blue]x=-(5π/18)+(2π/3)*1=-(5π/18)+(12π/18)=7π/18) [/blue] - наименьший положительный в этой серии

([red]π/8) <(7π/18) < (11π/18)[/red]

О т в е т. ([red]π/8) [/red]наименьший положительный корень уравнения