Задача 53655 Найдите все значения а, при каждом из...

5f6852d13934fb23001a34cf

25.09.2020 20:04:54

Найдите все значения а, при каждом из которых уравнение ((x-a-7)(x+a-2))/(sqrt(10x-x^2-a^2))=0 имеет ровно один корень на отрезке [4;8]

5f3ea7e3faf909182968ddd9

25.09.2020 20:27:38

★

ОДЗ:
10x-x^2-a^2 >0

Дробь равна 0 когда числитель равен 0, а знаменатель отличен от 0.
В условиях ОДЗ знаменатель отличен от 0

Числитель равен 0 ⇒ x=a+7 или x=2-a

Требование задачи: уравнение имеет ровно один корень на отрезке [4;8] ⇒

один корень принадлежит отрезку, а второй корень не принадлежит.

Две системы с учетом ОДЗ:

[m]\left\{\begin{matrix}
4 ≤ a+7 ≤ 8\\ 10\cdot (a+7)-(a+7)^2-a^2 >0\\2-a>8\cup2-a < 4

\end{matrix}\right.[/m] или [m]\left\{\begin{matrix}
4 ≤ 2-a ≤ 8\\ 10\cdot (2-a)-(2-a)^2-a^2 >0\\a+7>8\cup a+7 < 4

\end{matrix}\right.[/m]
[m]\left\{\begin{matrix}
-3 ≤ a ≤ 1\\ 2a^2+4a-21 <0\\a<-6 \cup a>-2

\end{matrix}\right.[/m] или [m]\left\{\begin{matrix}
-6 ≤ a ≤ -2\\ a^2+3a-8 <0\\a>1 \cup a < -3

\end{matrix}\right.[/m]
D=16-4*2*(-21)=184=4*41 или D=9-4*(-8)=41
корни
x=(-4-2sqrt(41))/4 или x=(-3-sqrt(41))/2

x ∈ (-2;1] или x ∈ ((-3-sqrt(41))/2; -3)

О т в е т. x ∈ ((-3-sqrt(41))/2; -3)U (-2;1]