Задача 53545 Производная степенной функции...
Условие
Решение
1) [m]f(x)=x\cdot (x-3)[/m]
1 способ.
раскрыть скобки и упростить выражение для f(x).
[m]f(x)=x^2-3x[/m]
[m]f`(x)=(x^2-3x)`=(x^2)`-(3x)`=2x-3[/m]
[m]f`(x_{o})=f`(4)=2\cdot4-3=8-3=5[/m]
2 способ.
применить правило: (u*v)`=u`*v+u*v`
[m]f`(x)=(x)`\cdot (x-3)+x\cdot (x-3)`=1\cdot (x-3)+x\cdot 1=2x-3[/m]
[m]f`(x_{o})=f`(4)=2\cdot4-3=8-3=5[/m]
2)
[m]f(x)=(x^2-5)\cdot (x-3)[/m]
1 способ.
раскрыть скобки и упростить выражение для f(x).
[m]f(x)=x^3-3x^2-5x+15[/m]
[m]f`(x)=(x^3-3x^2-5x+15)`=(x^3)`-(3x^2)`-(5x)`+(15)`=3x^2-6x-5[/m]
[m]f`(x_{o})=f`(1,1)=3\cdot1,1^2-6\cdot 1,1 -5=...[/m] считайте
2 способ.
применить правило: (u*v)`=u`*v+u*v`
[m]f`(x)=(x^2-5)`\cdot (x-3)+(x^2-5)\cdot (x-3)`=2x\cdot (x-3)+(x^2-5)\cdot 1=3x^2-6x-5[/m]
[m]f`(x_{o})=f`(1,1)=3\cdot1,1^2-6\cdot 1,1 -5=...[/m] считайте
41.4
1)
[m]f(x)=\frac{3}{x-1}[/m]
1 способ
Применяем правило: (u/v)`=(u`*v-u*v`)/v^2
[m]f`(x)=\frac{3`\cdot (x-1)-3\cdot (x-1)}{(x-1)^2}=-\frac{3}{(x-1)^2}[/m]
[m]f`(x_{o})=f`(2)=-\frac{3}{(2-1)^2}=-3[/m]
2 способ
Применяем формулу: ( u^( α ))`= α *u^( α-1 )*(u)`
[m]f`(x)=(3*(x-1)^{-1})`=3\cdot (-1)\cdot(x-1)^{-2}\cdot (x-1)`= -\frac{3}{(x-1)^2}[/m]
[m]f`(x_{o})=f`(2)=-\frac{3}{(2-1)^2}=-3[/m]
2)
[m]f(x)=\frac{5x}{x-3}[/m]
Применяем правило: (u/v)`=(u`*v-u*v`)/v^2
[m]f`(x)=\frac{(5x)`\cdot (x-3)-5x\cdot(x-3)`}{(x-3)^2}=\frac{5(x-3)-5x}{(x-3)^2}=-\frac{15}{(x-3)^2}[/m]
[m]f`(x_{o})=f`(2)=-\frac{15}{(5-3)^2}=-\frac{15}{4}[/m]
3)
[m]f(x)=\frac{\sqrt{5}x+7x^3}{x+2}[/m]
Применяем правило: (u/v)`=(u`*v-u*v`)/v^2
[m]f`(x)=\frac{(\sqrt{5}x)`\cdot (x+2)-\sqrt{5}x\cdot(x+2)`}{(x+2)^2}=\frac{\sqrt{5}(x+2)-\sqrt{5}x}{(x+2)^2}=\frac{2\sqrt{5}}{(x+2)^2}[/m]
[m]f`(x_{o})=f`(2)=\frac{2\sqrt{5}}{(2+2)^2}=\frac{\sqrt{5}}{2}[/m]
4)
[m]f(x)=\frac{5(x-5)(x+1)}{x+3}-4x[/m]
Упростим:
[m]f(x)=\frac{5(x^2-5x+x-5)}{x+3}-4x[/m]
[m]f(x)=\frac{5x^2-20x-25}{x+3}-4x[/m]
Производная суммы (разности) равна сумме ( разности ) производных
и
применяем правило: (u/v)`=(u`*v-u*v`)/v^2
[m]f`(x)=\frac{(5x^2-20x-25)`\cdot (x+3)-(5x^2-20x-25)\cdot(x+3)`}{(x+3)^2}-(4x)`=\frac{(10x-20)\cdot (x+3)-(5x^2-20x-25)\cdot 1}{(x+3)^2}-4=[/m]
[m]=\frac{10x^2+10x-60-5x^2+20x+25}{(x+3)^2}-4=\frac{5x^2+30x-35}{(x+3)^2}-4[/m]
[m]f`(x_{o})=f`(2)=\frac{5\cdot 2^2+30\cdot 2-35}{(2+3)^2}-4=\frac{45}{25}-4=-\frac{55}{25}=-\frac{11}{5}=-2,2[/m]
44.8
1)
[m]f(x)=2sinx\cdot cosx[/m]
применяем правило: (u*v)`=u`*v+u*v
[m]f(x)=(2sinx)`\cdot cosx+2sinx\cdot (cosx)`=2\cdot (cosx)\cdot cosx+2sinx\cdot (-sinx)=[/m]
[m]=2cos^2x-2sin^2x=2\cdot (cos^2x-sin^2x)=2cos2x[/m]
2 способ
Упрощаем выражение
[m]f(x)=2sinx\cdot cosx[/m]
[m]f(x)=sin2x[/m]
применяем формулу:
[m](sinu)`=cosu\cdot (u)`[/m]
[m]f`(x)=cos2x\cdot (2x)`=2\cdot cos2x[/m]
2)
[m]f(x)=2sinx\cdot (cosx+1)[/m]
применяем правило: (u*v)`=u`*v+u*v
[m]f(x)=(2sinx)`\cdot (cosx+1)+2sinx\cdot (cosx+1)`=2\cdot (cosx)\cdot(cosx+1)+2sinx\cdot (-sinx+0)=[/m]
[m]=2cos^2x+2cosx-2sin^2x=2\cdot (cos^2x-sin^2x)+2cosx=2cos2x+2cosx[/m]
3)
[m]f(x)=sinx\cdot ctgx[/m]
Упрощаем выражение
[m]f(x)=sinx\cdot \frac{cosx}{sinx}[/m]
[m]f(x)=cosx[/m]
применяем формулу:
[m](cosx)`=-sinx[/m]
2 способ:
применяем правило: (u*v)`=u`*v+u*v
[m]f(x)=(sinx)`\cdot ctgx+sinx\cdot (ctgx)`= (cosx)\cdot ctgx+sinx\cdot \frac{-1}{sin^2x}=cosx\cdot ctgx-\frac{1}{sinx}=[/m]
[m]=cosx\cdot\frac{cosx}{sinx} -\frac{1}{sinx}=\frac{cos^2x-1}{sinx}=-\frac{1-cos^2x)}{sinx}=-\frac{sin^2x}{sinx}=-sinx[/m]
4)
[m]f(x)=2sinx\cdot (2x^2-1)[/m]
применяем правило: (u*v)`=u`*v+u*v
[m]f(x)=(2sinx)`\cdot (2x^2-1)+2sinx\cdot (2x^2-1)`=2\cdot (cosx)\cdot(2x^2+1)+2sinx\cdot (4x-0)=[/m]
[m]=4x^2\cdot cosx+2cosx+8x\cdot sinx[/m]
5)
[m]f(x)=2\cdot tgx\cdot cosx[/m]
Упрощаем выражение
[m]f(x)=2\cdot \frac{sinx}{cosx}\cdot cosx[/m]
[m]f(x)=2sinx[/m]
применяем формулу:
[m](sinx)`=cosx[/m]
[m]f`(x)=2cosx[/m]
6)
[m]f(x)=2sinx\cdot (x+cosx)[/m]
применяем правило: (u*v)`=u`*v+u*v
[m]f(x)=(2sinx)`\cdot (x+cosx)+2sinx\cdot (x+cosx)`=2\cdot (cosx)\cdot(x+cosx)+2sinx\cdot (1-sinx)=[/m]
[m]=2x\cdot cosx+2cos^2x+2sinx-2\cdot sin^2x=2x\cdot cosx+2sinx+2(cos^2x-sin^2x)=[/m]
[m]=2x\cdot cosx+2sinx+2cos2x[/m]