Задача 53526 Помогите решить систему с параметром!...

5f6852d13934fb23001a34cf

21.09.2020 10:15:27

Помогите решить систему с параметром! Найдите все значения а, при каждом из которых система имеет хотя бы одно решение . 1)(a+7x+4)(a-2x+4)<=0 2)a+3x>=x^2

5f3ea7e3faf909182968ddd9

21.09.2020 10:56:44

★

[m]\left\{\begin{matrix} (a+7x+4)(a-2x+4) \leq 0\\ a+3x \geq x^2\end{matrix}\right.[/m]

Решаем первое неравенство методом интервалов.
Находим нули функции y=(a+7x+4)(a-2x+4):
a+7x+4=0 или a-2x+4=0
x_(1)=(-a-4)/7 или x_(2)=(a+4)/2

Возможны три способа размещения точек x_(1) и x_(2):
1)
x_(1)=x_(2)

2)
x_(1) < x_(2)

3)
x_(1)> x_(2)

1)
(-a-4)/7 = (a+4)/2 ⇒ (a+4)/2 +(a+4)/7 ⇒ a=-4

При a=-4 первое неравенство принимает вид:
(7x)*(-2x) ≤ 0
-14x^2 ≤ 0
x=0 - единственное решение

2)
(-a-4)/7 < (a+4)/2 ⇒ (a+4)/2 +(a+4)/7 >0 ⇒ a>-4
(-a-4)/7 ≤ x ≤ (a+4)/2 хотя бы одно решение есть


3)
(-a-4)/7 > (a+4)/2 ⇒ (a+4)/2 +(a+4)/7 <0 ⇒ a<-4
(a+4)/2 ≤ x ≤ (-a-7)/2 - хотя бы одно решение есть

Итак первое неравенство верно при a ∈ (- ∞ ;+ ∞ )

Можно и так
Раскрываем скобки:

[m]\left\{\begin{matrix} -14x^2+(20+5a)+a^2+8a+16 \leq 0\\ x^2-3x-a \leq 0\end{matrix}\right.[/m]


Графиком квадратного трехчлена [m]y=ax^2+bx+c[/m] является парабола, ветви которой направлены вверх при a>0 или вниз при a <0
Парабола пересекает ось Ох в случае D=b^2-4ac >0

Графиком квадратного трехчлена [m]y= -14x^2+(20+5a)+a^2+8a+16 [/m] является парабола, ветви которой направлены вниз, так как (-14) <0

D=(20+5a)^2-4*(-14)*(a^2+8a+16)=(20+5a)^2+56*(a+4)^2 ≥ 0 при любых а
потому что это сумма двух квадратов.


Графиком квадратного трехчлена [m]y= x^2-3x-a \ [/m] является парабола, ветви которой направлены вверх, так как (1) >0

D=(-3)^2-4*(-а)=9+4a

При D=0 a=-9/4 парабола пересекает ось Ох в одной точке x=1,5
x=1,5 единственное решение второго неравенства.

При D > 0 парабола пересекает ось Ох в двух точках
x_(3)=(3-sqrt(9+4a))/2 и x_(4)=(3+sqrt(9+4a))/2

и решение неравенства [m] x^2-3x-a \leq 0[/m] :

(3-sqrt(9+4a))/2 ≤ x ≤ (3+sqrt(9+4a))/2 - содержит хотя бы одну точку

При D < 0 парабола не пересекает ось Ох, график расположен выше оси Ох
и решение неравенства [m] x^2-3x-a \leq 0[/m] : нет решений

Итак
[m]\left\{\begin{matrix} (a+7x+4)(a-2x+4) \leq 0\\ a+3x \geq x^2\end{matrix}\right.[/m][m]\left\{\begin{matrix} a \in (-\infty; + \infty)\\ a \geq [-\frac{9}{4};+ \infty)\end{matrix}\right.[/m]

О т в е т.[m] [-\frac{9}{4};+ \infty)[/m]