Задача 53489 Если xy+yz+zx=-1, то доказать, что...

5f658d3c99198823e1f3896b

19.09.2020 07:47:10

Если xy+yz+zx=-1, то доказать, что x^2+5y^2+8z^2=>4.

5f3ea7e3faf909182968ddd9

19.09.2020 09:10:13

★

Легко доказать, что [b]x^2+y^2+z^2 ≥ 2[/b]


(x+y+z)^2=x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2xz ⇒

x^2+y^2+z^2=(x+y+z)^2-2*(xy+yz+xz)

Так как (x+y+z)^2 ≥ 0 и xy+yz+xz=-1 ⇒ x^2+y^2+z^2=(x+y+z)^2-2*(xy+yz+xz) ≥ 0-2*(-1)=2


x^2+5y^2+8z^2=(x+sqrt(5)y+sqrt(8)z)^2-2sqrt(5)xy-2sqrt(8)xz-2sqrt(40)yz=(x+sqrt(5)y+sqrt(8)z)^2-2(sqrt(5)xy+sqrt(8)xz+sqrt(40)yz)=

Задача сводится к тому, чтобы найти границу для
sqrt(5)xy+sqrt(8)xz+sqrt(40)yz

если xy+yz+xz=-1