Задача 53450 Построить график функций, исследовав её...

5f591131d9a7eb77f3f385ba

16.09.2020 18:56:09

Построить график функций, исследовав её на max, min, возрастание, убывание и точку перегиба (двумя способами).
y=5+x^3-3x^2

5f3ea7e3faf909182968ddd9

16.09.2020 20:51:56

★

y=5+x^3-3x^2

Область определения (- ∞ ;+ ∞ )

Функция непрерывна, так как является многочленом

y`=3x^2-6х

y`=0 ⇒ 3x^2-6х=0 ⇒

3x*(x-2)=0

x_(1)=0; x_(2)=2


Расставляем знак производной ( y`=3x^2-6x - квадратичная функция, графиком этой функции является парабола, ветви вверх, поэтому на (0;2) производная отрицательна, на (- ∞ ;0) и на (2;+∞) - положительна):

__+__ (0) __-___ (2) __+__

y`>0 на (- ∞ ;0) и на (2;+ ∞ ), значит функция возрастает

y`< 0 на (0;2), значит функция убывает

х=0 - точка максимума, производная меняет знак с + на -

х=2 - точка минимума, производная меняет знак с - на +


y``=6x-6

y``=0

6x-6=0

x=1- точка перегиба, вторая производная меняет знак с - на +

Функция выпукла вверх на (- ∞ ;1) и выпукла вниз на (1;+ ∞ )

См. график на рис .