Задача 53322 ...
Условие
Решение
z=x+iy ⇔ z=|z|*(cos φ +i*sin φ ) - триг форма
cos φ =[m]\frac{x}{|z|}[/m]
sin φ =[m]\frac{y}{|z|}[/m]
z=[m] e^{i\phi} [/m] - показ форма
|z|=sqrt(x^2+y^2)
arg z=φ
при x > 0
arg z=arctg(y/x)
при x < 0 ; y > 0
arg z=arctg(y/x)+ π
при x < 0 ; y < 0
arg z=arctg(y/x)- π
[b]1. z=3+i[/b]
x=3
y=1
|z|=sqrt(x^2+y^2)=sqrt(3^2+1^2)=sqrt(10)
cos φ =[m]\frac{x}{|z|}=\frac{3}{\sqrt{10}}[/m]
sin φ =[m]\frac{y}{|z|}=\frac{1}{\sqrt{10}}[/m]
tgφ =[m]\frac{1}{3}[/m]
[m] φ =arctg \frac{1}{3}[/m]
[m]z=\sqrt{10}(cos arctg \frac{1}{3}+i\cdot sin arctg \frac{1}{3})[/m] - триг форма
[m]z= e^{i\cdot arctg \frac{1}{3} } [/m] - показ форма
[b]2. z=-1+i[/b]
x=-1
y=1
|z|=sqrt(x^2+y^2)=sqrt((-1)^2+1^2)=sqrt(2)
cos φ =[m]\frac{x}{|z|}=-\frac{1}{\sqrt{2}}[/m]
sin φ =[m]\frac{y}{|z|}=\frac{1}{\sqrt{2}}[/m]
tgφ =[m]-1[/m] и x < 0; y >0
значит
[m] φ =arctg (-1)+\pi =-\frac{\pi}{4}+\pi=\frac{3 \pi}{4}[/m]
[m]z=\sqrt{2}(cos \frac{3 \pi }{4}+i\cdot sin \frac{3 \pi}{4})[/m]
[m]z= e^{i\cdot \frac{3 \pi } {4}} [/m] - показ форма
В)
1) [m]z=\sqrt{3}\cdot (cos\frac{5 \pi }{3}+i\cdot sin \frac{5 \pi }{3})[/m]
Так как [m]cos\frac{5 \pi }{3}=cos(2 \pi - \frac{\pi}{3})=cos (-\frac{\pi}{3})=\frac{1}{2}[/m]
[m]sin\frac{5 \pi }{3}=sin (2 \pi - \frac{\pi}{3})=sin (-\frac{\pi}{3})=-\frac{\sqrt{3}}{2}[/m]
[m]z=\sqrt{3}\cdot (\frac{1 }{2}+i\cdot (- \frac{ \sqrt{3} }{2}))=\frac{\sqrt{3}}{2}-i\cdot \frac{3}{2}[/m]
1) [m]z=3\sqrt{2}e^{i\cdot (-\frac{ \pi } {4})} [/m]
Так как [m]e^{i\cdot (-\frac{ \pi } {4})}=cos(-\frac{ \pi }{4}+i\cdot sin\frac{\pi }{4}[/m]
и
[m]cos(-\frac{ \pi }{4})=cos( \frac{\pi}{4})=\frac{\sqrt{2}}{2}[/m]
[m]sin(-\frac{\pi }{4})=-sin ( \frac{\pi}{4})=-\frac{\sqrt{2}}{2}[/m]
[m]z=3\sqrt{2}\cdot (\frac{\sqrt{2} }{2}+i\cdot (- \frac{ \sqrt{2} }{2}))=3-3i[/m]
C)
1) x^2+6x+9=0
D=36-4*9=36-36=0
x=-3
2) x^2-4x+5=0
D=16-4*5=16-20=-4
sqrt(D)=sqrt(-4)=sqrt(4)*sqrt(-1)=2*i
x_(1)=(4-2*i)/2=2-i; x_(2)=(4+2i)/2=2+i