Задача 53321 В правильной шестиугольной пирамиде...

5f406848b5ac0b3cc606fb58

14.09.2020 21:33:08

В правильной шестиугольной пирамиде SABDEF со стороной основания 4 и боковым ребром 12 точка M делит ребро sc в отношении 1:2 (считая от вершины S), а точка N - середина ребра AF. Найдите рсстояние от точки F до плоскости BMN.

5f3ea7e3faf909182968ddd9

14.09.2020 22:42:24

★

Вводим систему координат. ( см. рис.)

a=4
h^2=12^2-4^2=144-16=128
h=sqrt(128)=8sqrt(2)

N- середина AF.

A(a*sqrt(3)/2;-a/2; 0) при a=4 получим [b]A (2*sqrt(3);-2;0)[/b]
F(0;-a;0) при а=4 получим [b]F(0;-4;0)
[/b]
N=(sqrt(3); -3; 0)

K- проекция точки М

ОK=(1/3)OC

C(0;a;0)
K(0;a/3;0) при a=4 получим K (0;4/3; 0)

MK=(2/3)SO=(2/3)h=(16/3)sqrt(2)

[b]M(0;4/3; (16/3)sqrt(2))[/b]

B(a*sqrt(3)/2;a/2; 0) при a=4 получим [b]B (2*sqrt(3);2;0)[/b]

Составляем уравнение плоскости BMN:

Пусть P(x;y;z) - произвольная точка плоскости ВМN
Векторы vector{PB}=(2sqrt(3)-x; 20y;-z}; vector{AB}=(0;4;0) и vector{MA}=(-2sqrt(3); 10/3; 16/3 sqrt(2))
лежат в одной плоскости, значит компланарны. Условием компланарности является равенство нулю определителя третьего порядка, составленного из координат этих векторов:

[m]\begin{vmatrix}
2\sqrt{3}-x & 2 &0 \\
0 &4 &0 \\
-2\sqrt{3} &\frac{10}{3} & \frac{16\sqrt{2}}{3}
\end{vmatrix}=0[/m]

2sqrt(3)-x=0

x-2sqrt(3)=0 - уравнение плоскости BMN

d(F, BMN)=[b]2sqrt(3)[/b] ( см формулу в приложении)