Задача 53307 ...

5f3ea7e3faf909182968ddd9

13.09.2020 21:27:13

★

[m]xy`=\sqrt{x^2-y^2}+y[/m]

[m] y` =\frac{\sqrt{x^2-y^2}+y}{x}[/m] - однородное уравнение 1 -й степени, так как

имеет вид:

[m]y`=phi ( \frac{y}{x})[/m]

Замена:

[m] u=\frac{y}{x}[/m] ⇒ [m] y=u\cdot x[/m]

[m]u=u(x)[/m]


[m]y`=u`(x)\cdot x + u(x)\cdot x`[/m]

[m]y`=u\cdot x + u(x)[/m]



подставляем в данное уравнение:

[m]u`\cdot x + u-u=\sqrt{x^2-u^2x^2}[/m]

[m]u`\cdot x =x\cdot \sqrt{1-u^2}[/m]

[m]u` = \sqrt{1-u^2}[/m]

[m]u`=\frac{du}{dx}[/m]

[m]\frac{du}{dx} = \sqrt{1-u^2}[/m] - уравнение с разделяющимися переменными:


[m]\frac{du}{\sqrt{1-u^2}}=dx[/m]

Интегрируем:
[m]\int \frac{du}{\sqrt{1-u^2}}=\int dx[/m]

[m]arcsinu=x+C[/m]

[m]sin(x+C)=u[/m]

[m]y=u\cdot x=x\cdot sin(x+C)[/m]