Задача 53284 ...

5f3ea7e3faf909182968ddd9

11.09.2020 20:38:22

★

S_(n)= Σ_(1)^(n)[m](\frac{5^{n}}{20^{n}}-\frac{4^{n}}{20^{n}})=[/m]

это конечные суммы, можно раскрыть скобки и перегруппировать:

= Σ_(1)^(n)[m]\frac{5^{n}}{20^{n}}[/m]-Σ_(1)^(n)[m]\frac{4^{n}}{20^{n}}=[/m]

=Σ_(1)^(n)[m](\frac{1}{4^{n}})[/m]-Σ_(1)^(n)[m](\frac{1}{5^{n}})=[/m]

Это суммы n- членов двух геометрических прогрессий

[m]=\frac{\frac{1}{4}\cdot (1-(\frac{1}{4})^{n}}{1-\frac{1}{4}}-\frac{\frac{1}{5}\cdot (1-(\frac{1}{5})^{n}}{1-\frac{1}{5}}[/m]

S=lim_(n → ∞)S_(n) [m]=\frac{\frac{1}{4}}{1-\frac{1}{4}}-\frac{\frac{1}{5}}{1-\frac{1}{5}}=\frac{1}{3}-\frac{1}{4}=\frac{1}{12}[/m]