Задача 53266 ...

5f3ea7e3faf909182968ddd9

10.09.2020 19:41:09

★

Разложим общий член ряда на простейшие дроби :

[m]\frac{1}{(5n-1)(6n+3)}=\frac{A}{5n-1}+\frac{B}{6n+3}[/m]

1=A*(6n+3)+B*(5n-1)

1=(6A+5B)*n+(3A-B)

{6A+5B=0
{3A-B=1

B=3A-1
6A+5*(3A-1)=0
21A=5
A=5/21
B=-6/21


Ряд сходится по определению, т. е имеет конечную сумму

S=lim_(n → ∞ )S_(n)

S_(n)= ∑_(1)^(n) [m]\frac{1}{(5k-1)(6k+3)}[/m]=([m]\frac{5}{84}-\frac{6}{189}[/m])+

+([m]\frac{5}{189}-\frac{6}{315}[/m])+([m]\frac{5}{294}-\frac{6}{441}+...+\frac{5}{21\cdot(5n-1)}-\frac{6}{21\cdot (6n+3)}[/m])