Задача 53255 ...
Условие
математика ВУЗ
155
Решение
★
∑ ^( ∞ )_(1)[m]\frac{lnn}{7^{n}}[/m] сходится по признаку Даламбера:
[m] lim_{n\rightarrow \infty} \frac{a_{n+1}}{a_{n}}=lim_{n\rightarrow \infty} \frac{\frac{ln(n+1)}{7^{n+1}}}{\frac{lnn}{7^{n}}}=lim_{n\rightarrow \infty}\frac{ln(n+1)}{lnn}\cdot \frac{1}{7}=\frac{1}{7}<1[/m]
[m]lim_{n\rightarrow \infty}\frac{ln(n+1)}{lnn}[/m]
вычисляем по правилу Лопиталя:
[m]lim_{x\rightarrow \infty}\frac{ln(x+1)}{lnx}=\frac{\infty}{\infty}=lim_{x\rightarrow \infty}\frac{(ln(x+1))`}{(lnx)`}=lim_{x\rightarrow \infty}\frac{\frac{1}{x+1}}{\frac{1}{x}}=1[/m]