Задача 53198 Задача 3. Доказать, что данное выражение...

5f5679e494ec612a7a933892

07.09.2020 22:10:35

Задача 3. Доказать, что данное выражение является полным дифференциалом функции и(х, у). Найти функцию и(х, у)., 3.16 пожалуйста

5f3ea7e3faf909182968ddd9

08.09.2020 22:58:48

★

P(x;y)=y-sinx;
Q(x;y)=x-2ycosy^2
∂ P/ ∂ y=1
∂ Q/ ∂ x=1
Так как ∂ P/ ∂ y = ∂ Q/ ∂ x, то это уравнение в полных дифференциалах.

Значит, u(x;y)=C - решение дифференциального уравнения.

Функция u может быть найдена из условий:
∂ u/ ∂ y=P(x;y)
∂ u/ ∂ x=Q(x;y)

∂ u/ ∂ y=P(x;y) ⇒ [b]u(x;y)[/b]= ∫ P(x;y) dy= ∫ (y-sinx)dy=(y^2/2)-(sinx)*y+ [b]φ (x)[/b]

∂ u/ ∂ x=((y^2/2)-(sinx)*y+ φ (x))`_(x)=0-y*cosx+ φ `(x)

0-y*cosy+ φ `(x)=Q(x;y)
0-y*cosx+ φ `(x)=x-2ycosy^2 ⇒ φ `(x)=x-2ycosy^2+y*cosx

Тогда

[b] φ (x)[/b]= ∫ φ `(x) dx= ∫(x-2ycosy^2+y*cosx)dx= (x^2/2)-2xycosy^2+ysinx

О т в е т.

u(x;y)=(y^2/2)-(sinx)*y+ (x^2/2)-2xycosy^2+ysinx