Задача 53071 Помогите пожалуйста линейные...
Условие
линейные дифференциальные уравнения 1 порядка
зарание большое спасибо)))
Решение
[m] y`+\frac{2}{2x+1}y=\frac{lnx}{2x+1}[/m]
Линейное уравнение 1 порядка.
Решение y=u*v
y`=u`*v+u*v`
[m] u`\cdot v+u\cdot v`+\frac{2}{2x+1}\cdot u\cdot v=\frac{lnx}{2x+1}[/m]
Перегруппируем:
[m] u`\cdot v+u\cdot (v`+\frac{2}{2x+1}\cdot v)=\frac{lnx}{2x+1}[/m]
Функции u и v - произвольные, поэтому выбираем их так, чтобы
1)[m]v`+\frac{2}{2x+1}\cdot v=0[/m]
тогда
2)[m] u`\cdot v+u\cdot 0=\frac{lnx}{2x+1}[/m]
Решаем два уравнения с разделяющимися переменными:
1)[m]\frac{dv}{v}=-\frac{2dx}{2x+1}[/m]
[m]\int\frac{dv}{v}=-\int \frac{2dx}{2x+1}[/m]
[m]ln|v|=-ln|2x+1|[/m] ⇒ [m] v=\frac{1}{2x+1}
2)[m] \frac{du}{2x+1} =\frac{lnx}{2x+1}dx[/m]
[m] \int du =\int lnx dx[/m]
[m]u=xlnx-1+C [/m] ( интегрирование по частям
y=u*v=[m]\frac{xlnx-1+C}{2x+1} [/m]