Задача 53064 Найдите тангенс угла наклона касательной...
Условие
Решение
[m]f`(x_{o})=k [/m] (касательной)=[m]tg \alpha[/m]
где [m] \alpha[/m] - угол наклона касательной к оси Ох.
[m]f`(x)=(2x^2+5x)`=4x+5[/m]
и задача сводилась бы к вычислению значения производной в точке.
Но точка M(2;6) не лежит на графике функции [m] y=2x^2+5x[/m] ( см. рис. 1)
Поэтому план решения такой.
Написать уравнение касательной к кривой в произвольной точке (x_(o);y_(o)) , которая проходит через точку M (2;6) и найти x_(o)
Уравнение касательной к кривой в произвольной точке (x_(o);y_(o))
[b]y-y_(o)=f`(x_(o))*(x-x_(o))[/b]
[m]f`(x_{o})=4\cdot x_{o}+5[/m]
[m]y_{o}=2x^2_{o}+5x_{o}[/m]
[m]y-(2x^2_{o}+5x_{o})=(4\cdot x_{o}+5)\cdot (x-x_{o})[/m]
Подставим координаты точки М:
[m]6-(2x^2_{o}+5x_{o})=(4\cdot x_{o}+5)\cdot (2-x_{o})[/m]
и решаем уравнение относительно [m]x_{o}[/m]
[m]6-2x^2_{o}-5x_{o}=8x_{o}+10-4x^2_{o}-5x_{o}[/m]
[m]x^2_{o}-4x_{o}-2=0[/m]
[m]x_{o}=2-\sqrt{6}[/m] или [m]x_{o}=2+\sqrt{6}[/m]
[m]f`(2-\sqrt{6})=4\cdot (2-\sqrt{6})+5=13-4\sqrt{6}[/m]
или
[m]f`(2+\sqrt{6})=4\cdot (2+\sqrt{6})+5=13+4\sqrt{6}[/m]
таких касательных, проходящих через точку M(2;6) две ( см. рис. 2)
О т в е т. [m]tg \alpha=13-4\sqrt{6}[/m] или [m]tg \alpha=13+4\sqrt{6}[/m]
--------
