Задача 53057 5. В прямоугольном треугольнике ABC с...
Условие
Решение
Тогда
АС=х*cos α ; BC=x*sin α
CH=AC*BC/AB=x*cos α *sin α
Из прямоугольного треугольника АСН:
АН^2=AC^2-CH^2=x^2cos^2 α -x^2*cos^2 α *sin^2 α =
=x^2*cos^2 α *(1-sin^2 α )=x^2cos^4 α
АН=x*cos^2 α
BH=x*sin^2 α
∠ CAL= ∠ BAL= α /2 ( AL - биссектриса)
∠ HAL= ∠ CAL =α /2 ( внутренние накрест лежащие при параллельных АС и HL и секущей AL)
Значит, ∠ CAL= ∠ HAL
Δ AHL - равнобедренный и АН=HL
Из подобия Δ BHL и ВАС:
BH: BA=HL:AC
[m]\frac{x\cdot sin^2\alpha}{x}=\frac{x\cdot cos^2\alpha}{x\cdot cos\alpha}[/m]
sin^2 α =cos α
1-cos^2 α =cos α
cos^2 α +cos α -1=0
D=1+4=5
[m] cos \alpha=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}[/m], второй корень отрицательный и меньше -1, не удовлетворяет условию задачи ( угол α -острый угол прямоугольного треугольника)
О т в е т [m] cos \alpha=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}[/m]