Задача 53056 Решить уравнение tg(2x)=2cos(2x)ctg(x)...
Условие
Решение
Все решения
[m]\left\{\begin{matrix} cos 2x \neq 0\\sinx\neq 0 \end{matrix}\right.[/m] [m]\left\{\begin{matrix} 2x \neq \frac{\pi}{2}+\pi m, m \in Z\\x\neq \pi n, n \in Z \end{matrix}\right.[/m] [m]\left\{\begin{matrix} x \neq \frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{2} m, m \in Z\\x\neq \pi n, \in Z \end{matrix}\right.[/m]
[m] tg2x=\frac{2tgx}{1-tg^2x}[/m]
[m] cos2x=\frac{1-tg^2x}{1+tg^2x}[/m]
[m]ctgx=\frac{1}{tgx}[/m] при этом [m] tgx \neq0 \Rightarrow x\neq \frac{\pi}{2}+\pi m, m \in Z[/m]
Так как [m] x =\frac{\pi}{2}+\pi m, m \in Z[/m] входят в ОДЗ,
проверим, не являются ли [m] x =\frac{\pi}{2}+\pi m, m \in Z[/m]
корнями данного данного уравнения:
[m] tg (\pi+2\pi m) =2 cos ( \pi+2\pi m)\cdot ctg(\frac{\pi}{2}+\pi m), m \in Z[/m]
0=2*(-1)*0 - верно.
[m] x =\frac{\pi}{2}+\pi m, m \in Z[/m] - корни данного уравнения
При [m] x\neq \frac{\pi}{2}+\pi m, m \in Z[/m]
уравнение принимает вид:
[m] \frac{2tgx}{1-tg^2x}=2\cdot\frac{1-tg^2x}{(1+tg^2x)tgx} [/m]
Умножаем крайние и средние члены пропорции:
[m]tg^2x\cdot (1+tg^2x)=(1-tg^2x)^2;[/m]
[m] tg^2x+tg^4x=1-2tg^2x+tg^4x[/m]
[m]3tg^2x=1[/m]
[m] tgx =\pm\frac{1}{\sqrt{3}}[/m]
[m] x=\pm \frac{\pi}{6}+\pi k, k \in Z[/m]
Найденные решения удовлетворяют ОДЗ.
О т в е т.[m] \frac{\pi}{2}+\pi m, m \in Z[/m] ; [m] x=\pm \frac{\pi}{6}+\pi k, k \in Z[/m]