Задача 53054 sqrt(3)sinx-cosx=sqrt(2-cos2x-sqrt(3)sin2x)...
Условие
Решение
[m]\sqrt{3}sinx-cosx\geq 0[/m] ⇒ делим на 2: [m]\frac{\sqrt{3}}{2}sinx-\frac{1}{2}cosx \geq 0[/m]
Вводим вспомогательный угол:
[m]cos \phi =\frac{\sqrt{3}}{2}; sin \phi =\frac{1}{2} [/m] ⇒ [m] \phi=\frac{\pi}{6}[/m]
[m]cos\frac{\pi}{6}\cdot sinx-sin \frac{\pi}{6} \cdot cosx \geq 0[/m]
Применяем формулу синуса разности:
[m] sin(x-\frac{\pi}{6}) \geq 0[/m] ⇒ [m]2 \pi n \leq x-\frac{\pi}{6}\leq \pi + 2 \pi n, n \in Z[/m]
[m]\frac{\pi}{6}+2 \pi n \leq x \leq \pi+\frac{\pi}{6} + 2 \pi n, n \in Z[/m]
ОДЗ: [m]\frac{\pi}{6}+2 \pi n \leq x \leq \frac{7\pi}{6} + 2 \pi n, n \in Z[/m]
Возводим обе части уравнения в квадрат:
[m]3sin^2x -2\sqrt{3}sinx\cdot cosx+ cos^2x=2-cos2x-\sqrt{3}sin2x[/m]
Так как [m]2\sqrt{3}sinx\cdot cosx=\sqrt{3}sin2x[/m]
[m]3(1-cos^2x) + cos^2x=2-cos2x[/m]
[m]3(1-cos^2x) + cos^2x=2-(2cos^2x-1)[/m]
равенство верно при любых х из ОДЗ
О т в е т. ОДЗ:[m]\frac{\pi}{6}+2 \pi n \leq x \leq \frac{7\pi}{6} + 2 \pi n, n \in Z[/m]
PS. Проверьте условие. Может аргументы где-то не такие...
Все решения
