Задача 53051 ...
Условие
Решение
[m]2\cdot 9^{x}-10\cdot 6^{x}+2^{3}\cdot 2^{2x} \geq 0[/m] ⇒
[m]2\cdot (3^{x} - 2^{x})\cdot (3^{x}-4\cdot 2^{x})\geq 0[/m] ⇒
[m](\frac{3}{2})^{x} \leq 1[/m] или [m](\frac{3}{2})^{x} \geq 4[/m]
x ≤ 0 или x ≥ [m]log_{\frac{3}{2}}4[/m]
Так как дано иррациональное неравенство, то рассматриваем два случая:
1) [m] 3^{x}-2^{x+1} \leq 0[/m] ⇒ [m](\frac{3}{2})^{x} \leq 2[/m]
C учетом ОДЗ: если x ≤ 0, то [m] 3^{x}-2^{x+1} <0[/m] и данное
неравенство верно при любых х ∈ (- ∞ ;0]
2)
Если x ≥ [m]log_{\frac{3}{2}}4[/m], то [m] 3^{x}-2^{x+1} >0[/m], тогда
возводим обе части неравенства в квадрат:
[m]2\cdot 9^{x}-10\cdot 6^{x}+2^{3}\cdot 2^{2x} \geq (3^{x}-2^{x+1})^{2} [/m]
[m]2\cdot 9^{x}-10\cdot 6^{x}+2^{3}\cdot 2^{2x} \geq (3^{x})^{2}-4\cdot 6^{x}+4\cdot 2^{2x} [/m]
[m]9^{x}-6\cdot 2^{x}\cdot 3^{x}+4\cdot 2^{2x}\geq 0[/m]
Делим на [m]2^{2x}[/m]
[m](\frac{3}{2})^{2x}-6\cdot (\frac{3}{2})^{x}+4\geq 0[/m]
D=36-16=20
[m] (\frac{3}{2})^{x}\leq 3-\sqrt{5}[/m] или [m] (\frac{3}{2})^{x}\geq 3+\sqrt{5}[/m]
[m]x \leq log_{\frac{3}{2}}(3-\sqrt{5})[/m] или [m] x\geq log_{\frac{3}{2}}(3+\sqrt{5})[/m]
C учетом x ≥ [m]log_{\frac{3}{2}}4[/m] получаем ответ второго случая:
[[m]log_{\frac{3}{2}}(3+\sqrt{5});+\infty[/m])
Объединяем ответы двух случаев:
О т в е т. (- ∞ ;0] U [[m]log_{\frac{3}{2}}(3+\sqrt{5});+\infty[/m])