Задача 53050 ...

5f2a99d30218045a6e075ef2

20.08.2020 18:58:09

Решите неравенство log(2x)16 - log(4x)8 ≤ 1

5f3ea7e3faf909182968ddd9

20.08.2020 18:58:09

★

ОДЗ:[m]\left\{\begin{matrix}2x>0\\2x\neq1\\4x>0\\4x\neq1\end{matrix}
\right.[/m]
[m]\left\{\begin{matrix}x>0\\x\neq\frac{1}{2}\\x\neq\frac{1}{4} \end{matrix}
\right.[/m]


Применяем формулу перехода к другому основанию.
Переходим к основанию 2

[m]\frac{log_{2}16}{log_{2}2x}-\frac{log_{2}8}{log_{2}4x} \leq 1[/m]

[m]\frac{4}{log_{2}2+log_{2}x}-\frac{3}{log_{2}4+log_{2}x} \leq 1[/m]

[i]Замена переменной:[/i]

[m]log_{2}x=t[/m]

[m]\frac{4}{1+t}-\frac{3}{2+t} \leq 1[/m]

[m]\frac{4}{1+t}-\frac{3}{2+t} -1\leq 0[/m]

[m]\frac{4(2+t)-3(1+t)-(1+t)(2+t)}{(1+t)(2+t)}\leq 0[/m]

[m]\frac{-t^2-2t+3}{(1+t)(2+t)}\leq 0[/m]

[m]\frac{t^2+2t-3}{(1+t)(2+t)} \geq 0[/m]

[m]\frac{(t-1)(t+3)}{(1+t)(2+t)} \geq 0[/m]

Решаем методом интервалов:

_+__ [-3] __-__ (-2) __+___ (-1) ______-_____ [1] ___+___

t ≤ -3 или -2 < t < -1 или t ≥ 1

Обратный переход ( обратная замена):

[m]log_{2}x\leq -3[/m] или [m] -2 < log_{2}x < -1[/m] или [m]log_{2}x \geq 1[/m]

Логарифмическая функция с основанием 2 [b]возрастающая[/b], [i]большему[/i] значению функции соответствует [i]большее[/i] значение аргумента

[m]0 < x\leq 2^{ -3}[/m] или [m] 2^{-2}< x < 2^{-1}[/m] или [m]x \geq 2^{1}[/m]

C учетом ОДЗ получаем ОТВЕТ: (0; [m]\frac{1}{8}[/m]] U ([m]\frac{1}{4};\frac{1}{2} [/m])U[2;+ ∞ )