Задача 53049 Решите уравнение cosx*(2cosx-cos3x)=1...
Условие
математика 10-11 класс
800
Решение
★
Уравнение принимает вид:
cosx*(2cosx-(4cos^3x-3cosx))=1;
cosx*(5cosx-4cos^3x)=1;
4cos^4x-5cos^2x+1=0.
[i]Замена переменной:[/i]
cos^2x=t;
t>0
4t^2-5t+1=0
D=25-16=9
t_(1)=1/4 ИЛИ t_(2)=1
[i]Обратный переход[/i]
cos^2x=1/4 ⇒
cosx=-1/2 или cosx=1/2
x= ± arccos(-1/2)+2πk, k ∈ Z или x= ± arccos(1/2)+2πn, n ∈ Z
x=[b] ± (2π/3)+2πk, k ∈ Z[/b] или x= [b]± (π/3)+2πn, n ∈ Z[/b]
ИЛИ
cos^2x=1 ⇒
cosx=-1 или cosx=1
x=[b] (π)+2πm, m ∈ Z[/b] или x= [b]2πs, s ∈ Z[/b]
О т в е т. [b] ± (2π/3)+2πk, k ∈ Z[/b] ;[b]± (π/3)+2πn, n ∈ Z[/b];[b] (π)+2πm, m ∈ Z[/b] ;[b]2πs, s ∈ Z[/b]