Задача 52611 ...

vk240807630

2020-06-22 16:42:49

Вычислить с помощью тройного интеграла объѐм тела, ограниченного указанными поверхностями.

Данные:
z=0; z=3-x-y; x^2+y^=9

sova

2020-06-22 20:52:39

★

V= ∫ ∫ ∫_( Ω ) dxdydz

Ω :
D: x^2+y^2 ≤ 9
0 < z < 3-x-y

V= ∫ ∫ _(D)(z|^(3-x-y)_(0))dxdy= ∫ ∫ _(D)(3-x-y)dxdy=

[i]полярные координаты:[/i]
0<ρ <3
0 <φ <2π

3-x-y=3- ρ cos φ - ρ sin φ

dxdy= ρ d ρ d φ

= ∫ ^(2π)_(0)([blue] ∫ ^(3)_(0)(3- ρ cos φ - ρ sin φ )d ρ[/blue]) =

=∫ ^(2π)_(0)(3 ρ - (ρ ^2/2)cos φ -( ρ ^2/2)sin φ )^(3)_(0)d φ =

=∫ ^(2π)_(0)(9-4,5cos φ -4,5sin φ )d φ =

=(9 φ -4,5sin φ +4,5cos φ )|^(2π)_(0)=

=9*2π+4,5*(cos2π-cos0)=[b]18π[/b]