Задача 52539 Помогите пожалуйста: Даны 4 точки...
Условие
Даны 4 точки А1(Х1,Y1);A2(X2,Y2);A3(X3,Y3);A4(X4,Y4)
Составить уравнения:
А)плоскости А1А2А3
Б)прямой А1А2
В)прямой А4М,перпендикулярной к плоскости А1А2А3
Г)прямой А3N,параллельной прямой А1А2
Д)плоскости,проходящей через точку А4,перпендикулярно к прямой А1А2
Вычислить:
Е)синус угла между прямой А1А4 и плоскостью А1А2А3
Ж) косинус угла между координатной плоскость Оху и плоскостью А1А2А3
При данных: А1(9;5;5); А2(-3;7;1); А3(5,7,8); А4(6;9;2).
Все решения
Даны координаты пирамиды: A1(9,5,5), A2(-3,7,1), A3(5,7,8), A4(6,9,2)
1) Координаты векторов.
Координаты векторов находим по формуле:
X = xj - xi; Y = yj - yi; Z = zj - zi
здесь X,Y,Z координаты вектора; xi, yi, zi - координаты точки Аi; xj, yj, zj - координаты точки Аj;
Например, для вектора A1A2
X = x2 - x1; Y = y2 - y1; Z = z2 - z1
X = -3-9; Y = 7-5; Z = 1-5
A1A2(-12;2;-4)
A1A3(-4;2;3)
A1A4(-3;4;-3)
A2A3(8;0;7)
A2A4(9;2;1)
A3A4(1;2;-6)
2) Модули векторов (длина ребер пирамиды)
Длина вектора a(X;Y;Z) выражается через его координаты формулой:
7) Уравнение прямой
Прямая, проходящая через точки A1(x1; y1; z1) и A2(x2; y2; z2), представляется уравнениями:
Параметрическое уравнение прямой:
x=x0+lt
y=y0+mt
z=z0+nt
Уравнение прямой A1A2(-12,2,-4)
Параметрическое уравнение прямой:
x=9-12t
y=5+2t
z=5-4t
Уравнение прямой A1A4(-3,4,-3)
Параметрическое уравнение прямой:
x=9-3t
y=5+4t
z=5-3t
8) Уравнение плоскости.
Если точки A1(x1; y1; z1), A2(x2; y2; z2), A3(x3; y3; z3) не лежат на одной прямой, то проходящая через них плоскость представляется уравнением:
x-x1 y-y1 z-z1
x2-x1 y2-y1 z2-z1
x3-x1 y3-y1 z3-z1
= 0
Уравнение плоскости A1A2A3
x-9 y-5 z-5
-12 2 -4
-4 2 3
= 0
(x-9)(2·3-2·(-4)) - (y-5)((-12)·3-(-4)·(-4)) + (z-5)((-12)·2-(-4)·2) = 14x + 52y - 16z-306 = 0
Упростим выражение: 7x + 26y - 8z-153 = 0
Уравнение плоскости A1A2A4
x-9 y-5 z-5
-12 2 -4
-3 4 -3
= 0
(x-9)(2·(-3)-4·(-4)) - (y-5)((-12)·(-3)-(-3)·(-4)) + (z-5)((-12)·4-(-3)·2) = 10x - 24y - 42z + 240 = 0
Упростим выражение: 5x - 12y - 21z + 120 = 0
9) Уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно вектору A1A2
Уравнение плоскости, проходящей через точку M0(x0, y0, z0) перпендикулярно вектору N = (l,m,n), имеет вид:
l(x- x0) + m(y- y0) + n(z- z0) = 0
Координаты точки A4(6;9;2)
Координаты вектора A1A2(-12;2;-4)
-12(x - 6) + 2(y - 9) + (-4)(z - 2) = 0
Искомое уравнение плоскости:
-12x + 2y - 4z + 62 = 0
Упростим выражение: -6x + y - 2z + 31 = 0
10) Длина высоты пирамиды, проведенной из вершины A4(6,9,2).
Расстояние d от точки M1(x1;y1;z1) до плоскости Ax + By + Cz + D = 0 равно абсолютному значению величины:
Уравнение плоскости A1A2A3: 7x + 26y - 8z-153 = 0
11) Уравнение высоты пирамиды через вершину A4(6,9,2).
Прямая, проходящая через точку M0(x0;y0;z0) и перпендикулярная плоскости Ax + By + Cz + D = 0 имеет направляющий вектор (A;B;C) и, значит, представляется симметричными уравнениями:
Уравнение плоскости A1A2A3: 7x + 26y - 8z-153 = 0
11) Уравнение плоскости через вершину A4(6,9,2).
Плоскость, проходящая через точку M0(x0;y0;z0) и параллельная плоскости Ax + By + Cz + D = 0 имеет направляющий вектор (A;B;C) и, значит, представляется уравнением:
A(x-x0) + B(y-y0) + C(z-z0) = 0
Уравнение плоскости A1A2A3: 7x + 26y - 8z-153 = 0
7(x-6)+26(y-9)-8(z-2) = 0
или
7x+26y-8z-260 = 0
12) Угол между прямой A1A4 и плоскостью A1A2A3.
Синус угла между прямой с направляющими коэффициентами (l; m; n) и плоскостью с нормальным вектором N(A; B; C) можно найти по формуле:
Уравнение плоскости A1A2A3: 7x + 26y - 8z-153 = 0
Уравнение прямой A1A4:
γ = arcsin(0.653) = 40.769o
13) Угол между плоскостью A1A2A4 и плоскостью A1A2A3.
Косинус угла между плоскостью A1x + B1y + C1 + D = 0 и плоскостью A2x + B2y + C2 + D = 0 равен углу между их нормальными векторами N1(A1, B1, C1) и N2(A2, B2, C2):
Уравнение плоскости A1A2A4: 5x - 12y - 21z + 120 = 0
Уравнение плоскости A1A2A3: 7x + 26y - 8z-153 = 0
γ = arccos(-0.15) = 98.63o