Задача 52446 Решите следующие дифференциальные...

khasanov

2020-06-15 10:28:46

Решите следующие дифференциальные уравнения
для t > 0 y"(t)+4y(t) = 8e^(2t) , y(0)= 0, y'(0)=3.

sova

2020-06-15 14:55:50

★

Линейное неоднородное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами.

Составляем характеристическое уравнение:
k^2+4=0

k_(1)=-2i; k_(2)=2i- корни комплексные сопряженные

Общее решение однородного имеет вид:
y_(одн.)=С_(1)sin2t+C_(2)cos2t

частное решение неоднородного уравнение находим в виде:
y_(част)=Ae^(2t)

Находим производную первого, второго порядка и подставляем в данное уравнение:

y`_(част)=2Ae^(2t)

y``_(част)=4Ae^(2t)

4Ae^(2t)+4*(Ae^(2t))=8e^(2t)

8A=8

[b]A=1[/b]

y_(част)=e^(2t)

Общее решение :
у=y_(одн.)+y_(част)= [b]С_(1)sin2t+C_(2)cos2t+e^(2t)
[/b]

Решение задачи Коши:
По условию:
[b]y(0)=0[/b]
Подставляем в общее решение:
0=С_(1)*0+С_(2)*1+1

[b]С_(2)=-1[/b]

Находим производную:

y`=2C_(1)cos2t-2C_(2)sin2t+2e^(2t)

По второму условию

[b]y`(0)=3[/b]

3=2C_(1)-2C_(2)*0+2*1

[b]C_(1)=1/2
[/b]
у_(Коши)= [b](1/2)sin2t-cos2t+e^(2t)[/b]