Задача 51245 xy'^2-2yy'+x=0 Уравнение разрешить...

khasanov

2020-05-22 12:43:20

xy'^2-2yy'+x=0
Уравнение разрешить относительно y', после этого общее решение искать обычными методами

sova

2020-05-22 14:33:46

★

D=(2y)^2-4x*x=4y^2-4x^2=4*(y^2-x^2)

y`=(y ± sqty(y^2-x^2))/x (#)

Это однородные уравнения

Решаются заменой:

y/x=u

y=x*u

y`=x`*u+u`*x

x`=1

y`=u+x*u`+u



Подставляем в (#)

u+u`*x=u ± sqrt(u^2-1)

u`*x= ± sqrt(u^2-1)- уравнения с разделяющимися переменными


± du/sqrt(u^2-1)=dx/x


± ∫ du/sqrt(u^2-1)= ∫ dx/x


± ln|u+sqrt(u^2-1)|=ln|x|+lnC

± ln|u+sqrt(u^2-1)|=lnC|x|


ln|u+sqrt(u^2-1)|=lnC|x| или ln(|u+sqrt(u^2-1)|)^(-1)=lnC|x|
Сx=u+sqrt(u^2-1) или Cx=1/(u+sqrt(u^2-1))

Подставляем вместо u=y/x и получаем два ответа