Дан куб АВСДА1В1С1Д1. Точка К середина стороны ВС. Найти угол между прямыми А1С, В1К.
∠ (A_(1)C, B_(1)K)= ∠ (A_(1)C, CM)= ∠ A_(1)CM
Находим его из треугольника A_(1)CМ
Пусть ребро куба равно [b]а[/b].
A_(1)C=[b]a[/b]*sqrt(3)
A_(1)M=CM=sqrt(a^2+(a/2)^2)=a*sqrt(5)/2
По теореме косинусов:
A_(1)M^2=А_(1)С^2+CM^2-2*А_(1)С*CM*cos ∠ A_(1)CM ⇒
cos ∠ A_(1)CM=sqrt(3)/sqrt(5)=sqrt(0,6)
∠ A_(1)CM=arccos(sqrt(0,6))
Можно и по-другому.
Δ A_(1)CМ- равнобедренный
MN ⊥ A_(1)C
MN- медиана
A_(1)N=NC=a*sqrt(3)/2
сos ∠ A_(1)CM=NC/MC=sqrt(3)/sqrt(5)