Задача 45383 Исследовать функцию y=1/3x^3 - 3x^2 и...

vk481651111

2020-03-26 11:54:00

Исследовать функцию y=1/3x^3 - 3x^2 и построить ее график
Помогите пожалуйста.

sova

2020-03-26 12:05:05

y=(1/3)x^3-3x^2

Область определения (- ∞ ;+ ∞ )

Функция непрерывна, так как является многочленом

y`=x^2-6x

y`=0
x^2-6x=0
х*(х-6)=0

x_(1)=0; x_(2)=6

Расставляем знак производной ( y`=x^2-6x - графиком этой функции является парабола, ветви вверхз, поэтому на (0;6) она отрицательна, на смежных с этим интервалом положительна):

__+__ (0) __-___ (6) __+__

y`>0 на (- ∞ ;0) и на (6;+ ∞ ), значит функция возрастает убывает

y`> 0 на (0 ;2), значит функция убывает

х=0 - точка максимума, производная меняет знак с + на -

у(0)=(1/3)*0^3-3*0^2=0

х=6 - точка минимума, производная меняет знак с - на +

y(6)=(1/3)*6^3-3*6^2=-36

y``=2x-6
y``=0
2x-6=0
x=6- точка перегиба, вторая производная меняет знак с - на +
Функция выпукла вверх на ( (- ∞ ;3) и выпукла вниз на (3;+ ∞ )
См. график рис. 1