Задача 45230 а) 8*16^(sin^2x) - 2*4^(cos2x) = 63 б)...
Условие
б) [7Pi/2; 5Pi]
Решение
[m]2^3\cdot (2^4)^{\frac{1-cos2x}{2}}-2\cdot (2^2)^{cos2x}-63=0[/m]
[m]2^3\cdot (2)^{2\cdot (1-cos2x)}-2\cdot 2^{2cos2x}-63=0[/m]
[m]2^5\cdot 2^{-2cos2x}-2\cdot 2^{2cos2x}-63=0[/m]
Умножаем на [m]2^{2cos2x}>0[/m]
[m]32-2\cdot (2^{2cos2x})^2-63\cdot 2^{2cos2x}=0[/m]
Квадратное уравнение:
[i]замена переменной[/i]
[m]2^{2cos2x}=t[/m]
t > 0
2t^2+63t-32=0
D=63^2-4*2*(-32)=3969+256=4225=65^2
t_(1)=-32; t_(2)=[m]\frac{1}{2}[/m]
t_(1) не удовл условию t>0
Обратный переход:
[m]2^{2cos2x}=\frac{1}{2}[/m]
[m]2^{2cos2x}=2^{-1}[/m]
[m]2cos2x=-1[/m]
[m]cos2x=-\frac{1}{2}[/m]
[m]2x= \pm arccos(-\frac{1}{2})+2 \pi n, n \in Z[/m]
[m]2x= \pm (\pi - arccos(\frac{1}{2})+2 \pi n, n \in Z[/m]
[m]2x= \pm (\pi - \frac{\pi}{3})+2 \pi n, n \in Z[/m]
[m]2x= \pm \frac{2\pi}{3}+2 \pi n, n \in Z[/m]
[m]x= \pm \frac{\pi}{3}+ \pi n, n \in Z[/m]
О т в е т.
a)[m]\pm \frac{\pi}{3}+ \pi n, n \in Z[/m]
б)
[m]-\frac{\pi}{3}+ 4\pi=\frac{11 \pi}{3}[/m]
[m]\frac{\pi}{3}+ 4\pi=\frac{13 \pi}{3}[/m]
[m] -\frac{\pi}{3}+\pi + 4\pi =\frac{14 \pi}{3} [/m]
