Задача 45144 Решите пожалуйста систему неравенств! ...
Условие
Решение
[m]\frac{2^{3x}-5\cdot 2^{x}}{2^{x}-\frac{2^4}{2^{x}}}\geq 0[/m]
[m]\frac{((2^{x})^2-5)\cdot (2^{x})^2}{(2^{x})^2-16}\geq 0[/m]
[m]\frac{(2^{x}-\sqrt{5})(2^{x}+\sqrt{5})\cdot (2^{x})^2}{(2^{x}-4)(2^{x}+4)}\geq 0[/m]
2^(x) >0 при любом х
(2^(x))^2 >0 при любом х
2^(x)+4 >0 при любом х
2^(x)+sqrt(5) > 0 при любом х
[m]\frac{2^{x}-\sqrt{5}}{2^{x}-4}\geq 0[/m]
Решаем методом интервалов
2^(x)-sqrt(5)=0
2^(x)=sqrt(5)
x=log_(2)sqrt(5)
2^(x)-4=0
2^(x)=2^2
x=2
__+____ [log_(2)sqrt(5)] ___-___ (2) _+___
1=log_(2)2 <[b] log_(2)sqrt(5)[/b] < log_(2)4=2
[b](- ∞ ;log_(2)sqrt(5)]U (2;+ ∞ ) [/b]
Решаем второе неравенство:
ОДЗ:
{x^2>0
{x^2 ≠ 1
{(2/x^2)-(1/x)>0 ⇒ (2-x)/x^2>0 ⇒ x<2
x ∈ (- ∞ ;-1)U(-1;0) U(0;1)U(1;2)
Применяем метод рационализации:
(x^2-1)*((2/x^2)-(1/x)-1) ≤ 0
(x-1)(x+1)(-x^2-x+2) ≤ 0
(x-1)(x+1)(x^2+x-2) ≥ 0
(x-1)(x+1)(x-1)(x+2) ≥ 0
(х-1)^2(x+1)(x+2) ≥ 0
Решаем методом интервалов
+____ [-2] ____-___ [-1] ___+___ [1] __+__
[b]x ∈ (- ∞ ;-2] U[-1;+ ∞ )[/b]
c учетом ОДЗ этого уравнения
x ∈ (- ∞ ;-2] U(-1;0)U(0;1) U(1;2)
Пересечение множеств решений первого и второго неравенств и есть ответ:
[red]x ∈ (- ∞ ;-2) U(-1;0)U(0;1) U(1;log_(2)sqrt(5)][/red]