Задача 43592 1) xdx - ydy=yx^(2) dy - xy^(2) dx 2)...

tao9909

2020-01-22 15:19:16

1) xdx - ydy=yx^(2) dy - xy^(2) dx
2) xy'=3 sqrt(2x^(2) + y^(2))+y
-решить дифференциальные уравнения
Помогите пожалуйста

sova

2020-01-22 20:39:01

1)xdx+xy^2dx=yx^2dy+ydy

(x+xy^2)dx=(yx^2+y)dy

x(1+y^2)dx=y*(x^2+1)dy

xdx/(1+x^2)=ydy/(1+y^2)

∫ xdx/(1+x^2)= ∫ ydy/(1+y^2)

(1/2)ln (1+x^2)=(1/2)ln(1+y^2)+(1/2)ln C

[b]1+x^2=C(1+y^2)[/b]

2)

Делим на х:
y`=3sqrt(2x^2+y^2)/x + (y/x)

y`=3sqrt(2(x/y)^2+1) + (y/x)

Справа функция, зависящая от (y/x)

Значит, это однородное уравнение первой степени

Решается заменой

y/x=u

y=x*u

y`=x`*u+x*u`

x`=1

y`=u+x*u`

u+xu`=3sqrt(2(u)^2+1) + u

xu`=3sqrt(2(u)^2+1)

Это уравнение с разделяющимися переменными

du/sqrt(2u^2+1)=3dx/x

∫ du/sqrt(2u^2+1)= ∫ 3dx/x

(1/sqrt(2))*∫ du/sqrt(u^2+(1/2))=3 ∫ dx/x

(1/sqrt(2))ln|u+sqrt(u^2+(1/2))|=3ln|x|+lnC