Задача 43438 Исследовать на непрерывность функции,...

89526809080

2020-01-16 19:10:38

Исследовать на непрерывность функции, найти точки разрыва и определить их тип. Построить схематические графики функций.

sova

2020-01-17 20:13:18

★

1)y=(x^2-4x+3)/(x-3)

Область определения (- ∞ ;3) U(3;+ ∞ )

Так как
x^2-4x+3=(x-1)(x-3)

то

y=(x-1)(x-3)/(x-3)

сокращаем на (x-3) при условии х ≠ 3

Получаем функцию

y=x-1, x ≠ 3

График этой функции - прямая y=x-1 на которой отсутствует точка с абсциссой

Точка х=1 - точка[i] устранимого разрыва[/i]

В этой точке предел слева равен пределу справа, но функция в точке не определена.

2)
Область определения: (- ∞ ;-6) U(-6;+ ∞ )

При x+6 > 0 |x+6|=x+6

y=1

При x+6 < 0, т.е. при x < -6
|x+6|=-x-6

y=-1

x=-6 - точка разрыва первого рода.

Функция имеет конечный скачок в точке.

3)На (- ∞ ;-1) функция непрерывна, так как y=-x^2+2 непрерывна на (- ∞ ;+ ∞ ), а значит и на (- ∞ ;-1)

На (-1;0) функция непрерывна, так как y=3x+2 непрерывна на (- ∞ ;+ ∞ ), а значит и на (- 1;0)

На (0;+ ∞ ) функция непрерывна, так как y=2 непрерывна на (- ∞ ;+ ∞ ), а значит и на(0;+ ∞ )

Значит, надо выяснить непрерывность функции в точке х=-1 и х=0

Находим [green]предел слева:[/green]
lim_(x → -1-0)f(x)=lim_(x → -1-0)(-x^2+2)=-(-1-0)^2+2=1

Находим [red]предел справа:[/red]
lim_(x → -1+0)f(x)=lim_(x → -1+0)(3x+2)=3*(-1+0)+2=-1
предел слева ≠ пределу справа
Значит, не существует предела функции в точке х=-1
И ЗНАЧИТ
Определение непрерывности не выполняется

х=-1 - [i]точка разрыва первого рода[/i]

в точке х=-1 функция имеет [i]конечный скачок[/i]


х=0
Находим [green]предел слева:[/green]
lim_(x → -0)f(x)=lim_(x → -0)(3x+2)=2
Находим [red]предел справа[/red]:
lim_(x →+0)f(x)=lim_(x → 2+0)(2)=2

предел слева = пределу справа

Предел в точке x=0 существует
значение функции в точке x=0 определено
и равно 2.

х=0 - точка[i] непрерывности[/i]