Задача 42673 Провести полное исследование функции и...
Условие
Решение
Прямые x=-1 и х=1 - вертикальные асимптоты
так как
lim_(x→-1-0) f(x)= - ∞
lim_(x→-1+0) f(x)=+ ∞
и
lim_(x→1-0) f(x)=+∞
lim_(x→1+0) f(x)=-∞
Прямая y= [b]- 1 [/b] - горизонтальная асимптота, так как
lim_(x→ ∞)f(x)=lim_(x→ ∞)x^2/(1-x^2) = ( ∞/∞) делим числитель и знаменатель на x^2 =lim_(x→ ∞)1/((1/x^2)-1)=1/(0-1)= [b]-1[/b]
y`= ((x^2)`*(1-x^2)-x^2*(1-x^2)`)/(1-x^2)^2
y`=((2x*(1-x^2)-x^2*(-2x))/(1-x^2)^2
y`=(2x)/(1-x^2)^2
y`=0
2x=0
x=0
Знак производной:
_-_ (-1) __-__ (0) _+__ (1) __+__
f`(x) < 0 на (- ∞ ; -1) и на (-1;0)
Функция монотонно убывает на (- ∞ ; -1) и на (-1;0)
f`(x) > 0 на (0;1) U (1;+ ∞ )
Функция монотонно возрастает
на (0;1) U (1;+ ∞ )
х=0- точка минимума, производная меняет знак с - на +
f(0)=0^2/(1-0^2)=0/1=0
f``(x)=(2x/(1-x^2)^2)`=((2x)`*(1-x^2)^2-2x*((1-x^2)^2)`)/(1-x^2)^4
f`(x)=(6x^2+2)/(1-x^2)^3
f``(x)> 0 на (- ∞ ; -1) и на (-1;0)
Функция выпукла вверх на (- ∞ ; -1) и на (-1;0)
f``(x) < 0 на (-1;1)
Функция выпукла вниз
на (-1;1) 