Задача 42663 ...
Условие
Решение
Составляем разность
|x_(n)-a|=[m]|\frac{3n+2}{n+1}-3|=|\frac{3n+2-3n-3}{n+1}|=|\frac{-1}{n+1}|=\frac{1}{n+1}[/m]
Найдем при каких n, выполняется неравенство
|x_(n)-a|< ε ,
в данном случае
[m]\frac{1}{n+1}[/m]< ε
ε >0; n>0
1< ε *(n+1)
n+1>1/ ε ⇒ n> (1/ ε )-1
Если взять номер N( ε )= [(1/ ε )-1] - квадратные скобки означают целая часть числа
ε - очень маленькое ( ну например 3/777777777)
(1/ ε ) - очень большое число ( 777777777/3) не обязательно целое
(1/ ε )-1 тоже
Поэтому берем целую часть этого числа, без знаков после запятой.
Получили ∀ очень маленького ε >0
∃ номер ( натуральное число) N( ε ), что для всеx n > N( ε )
выполняется неравенство:
|x_(n)-a| < ε
Геометрически это означает, что для любой очень маленькой
ε - окрестности точки а ( для каждого ε своя окрестность)
найдется номер N( ε ) ( для каждого ε свой номер)
что для всех номеров больших этого номера все члены последовательности сгущаются к точке а и попадают в эту окрестность.