Задача 41970 Найдите решение задачи Коши...

vk265364584

2019-11-27 14:51:51

Найдите решение задачи Коши

sova

2019-11-27 17:14:11

★

x*sqrt(4+y^2)dx=-y*sqrt(1+x^2) - уравнение с разделяющимися переменными.

Делим обе части уравнения на

sqrt(4+y^2)*sqrt(1+x^2)

[m]\frac{xdx}{\sqrt{1+x^2}}=\frac{-ydy}{\sqrt{4+y^2}}[/m]

Интегрируем:

[m]\int \frac{xdx}{\sqrt{1+x^2}}=\int \frac{-ydy}{\sqrt{4+y^2}}[/m]


Умножаем на 2:

[m]\int \frac{2xdx}{\sqrt{1+x^2}}=-\int \frac{-2ydy}{\sqrt{4+y^2}}[/m]

d(1+x^2)=(1+x^2)`*dx=2xdx

Поэтому

2xdx=d(1+x^2)

Аналогично

2ydy=d(1+y^2)

[m]\int (1+x^2)^{-\frac{1}{2}}d(1+x^2)=-\int (4+y^2)^{-\frac{1}{2}}d(4+y^2)[/m]


По формуле

[m]∫ u^{-\frac{1}{2}}du=\frac{u^{-\frac{1}{2}+1}}{-\frac{1}{2}+1} + c[/m]

получаем:

[m]\frac{(1+x^2)^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}}+c =-\frac{(4+y^2)^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}} [/m]

2sqrt(1+x^2)+c=-2sqrt(4+y^2)

[b]sqrt(1+x^2)+sqrt(4+y^2)=C [/b] ( C=-c/2)

О т в е т. [b]sqrt(1+x^2)+sqrt(4+y^2)=C [/b] - общее решение дифференциального уравнения.

Задачи Коши нет, так как нет условий

y(x_(o))=?