Задача 41353 Докажите пожалуйста Отрезок, соединяющий...

vk431334436

2019-11-08 20:15:53

Докажите пожалуйста
Отрезок, соединяющий основания высот остроугольного треугольника, отсекает от данного
треугольника подобный ему с коэффициентом подобия, равным косинусу общего угла этих треугольников

sova

2019-11-08 20:55:32

★

Пусть AA1, BB1 , CC1 - высоты остроугольного треугольника ABC, а ABC = β (см. рис. ).

[red]Прямоугольные[/red] треугольники
BA1A и CC1B имеют общий β , поэтому они подобны,

а значит,

[m]\frac{BA_{1}}{BA} =\frac{BC_{1}}{BC}[/m] = cos β

⇒ [m]\frac{BA_{1}}{BC_{1}} =\frac{BA}{BC}[/m] = cos β,

т.е. в Δ C1BA1 и ΔABC стороны, прилежащие к общему β , пропорциональны.

По второму признаку подобия треугольников
ΔC1BA1 ~ ΔABC
коэффициент подобия равен cos β .

Аналогичным образом доказывается, что ΔA1CB1 ~ ΔABC с коэффициентом подобия cos BCA= γ ,

Δ B1AC1 ~ Δ ABC с коэффициентом подобия cos CAB= α