Задача 41211 помогите пожалуйста с решением найти...

vk516903088

2019-11-04 15:38:32

помогите пожалуйста с решением
найти наибольшее и наименьшее значение ф–ии z = 2x2y – x3 y– x2 y2 в области D : x = 0, y = 0, x + y – 6 = 0 .

sova

2019-11-04 23:22:41

★

Находим частные производные:
z`_(x)=4xy-3x^2y-2xy^2
z`_(y)=2x^2-x^3-2x^2y
Находим стационарные точки:
{z`_(x)=0
{z`_(y)=0


{4xy-3x^2y-2xy^2=0 ⇒ xy*(4-3x-2y)=0
{2x^2-x^3-2x^2y=0 ⇒ x^2*(2-x-2y)=0

x=0; y=0 или

{4-3x-2y=0
{2-x-2y=0 ⇒ x=2-2y
и подставляем в первое уравнение системы:

4-3*(2-2y)-2y=0
4y-2=0
y=0,5
x=2-2*0,5=2-1=1

(0;0) и (1;0,5) - стационарные точки

М(1;0,5) - внутренняя точка области D

Применяем достаточное условие экстремума

Находим вторые частные производные:

z``_(xx)=4y-6xy-2y^2
z``_(yy)=-2x^2
z``_(xy)=4x-3x^2-4xy

Находим значения частных производные в точке М
А=z``_(xx)(М)=4*0,5-6*1*0,5-2*0,5^2=2-3-0,5=-1,5
В=z``_(yy)(М)=-2*1^2=-2
С=z``_(xy)(М)=4*1-3*1-4*1*0,5=-1

Δ=АВ-С^2=-1,5*(-2)-(-1)^2=3-1>0
Экстремум есть.
Максимум, так как А <0

[b]M(1;0,5)- точка максимума[/b]

В точке (0;0) значение функции равно[b] 0[/b]

[i]Исследуем на границе:[/i]

x=0 ⇒ z=0

y=0 ⇒ z=0

[blue]x+y-6=0[/blue] ⇒ y=6-x подставляем в выражение функции z

z = 2x^2*(6-x) – x^3*(6-x) – x^2 *(6-x)^2

z=4x^3-24x^2

Исследуем как функцию одной переменной на [0:6] ( см. рис. область - треугольник, в котором 0 ≤ х ≤ 6 и 0 ≤ y ≤ 6)

z`=12x^2-48x
z`=0
12x*(x-4)=0
x=0; x=4

_+__ (0) __-___(4) __+_


x=4 - точка минимума, при этом y=6-x=6-4=2

z(4)=4*4^3-24*4^2=16*(16-24)=16*(-8)=-128

[b]K (4; 2) - точка минимума[/b]

vk201218220

2019-11-04 16:29:16

Посмотрите, как это делается и сделайте по аналогии:
[youtube=https://youtu.be/iGGzNJfF8Pg]
[youtube=https://youtu.be/va9Ml47FCMI]